第四节重积分的爱用 ·一、问题的提出 。二、曲面的面积 ·三、质心 ·四、转动横量 ·五、引力 ·六、小结
第四节 重积分的应用 • 一、问题的提出 • 二、曲面的面积 • 三、质心 • 四、转动惯量 • 五、引力 • 六、小结
一、问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域是，所求量U相 应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并 且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域do时， 相应的部分量可近似表示为f(x,y)dσ的形式， 其中(x,y)在D内.这个f(x,y)do就称为所求量U的 元素，记作dU,所求量U就可表示为积分 U=∬/x,yo
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 一、问题的提出 ( ) ( , ) . ( , ( , ) ( , ) ) D U D D U U D d x y D f x y d U f x y d U f x y d dU U 若要计算的某个量 对于闭区域 具有可加性 即当闭区域 分成许多小闭区域是，所求量 相 应地分成许多部分量，且 等于部分量之和 ，并 且在闭区域 内任取一个直径很小的闭区域 时， 相应的部分量可近似表示为 的形式， 其中 在 内这个 就称为所求量 的 元素，记作 ，所求量 就可表示为积分
对三重积分而言 △U≈f(x,y,z)dw→dU=f(x,Jy,z)lw U=Jj川fx,yz)d Ω 1.平面图形的面积 由二重积分的性质，当x,y)=1时 区域D的面积A=∬do 2.空间立体的体积 设曲面的方程为z=f(x,y)≥0，(x,y)∈D
dv x y z dv , ( , , ) U f x y z dv dU f x y z dv ( , , ) ( , , ) U f x y z dv ( , , ) 1.平面图形的面积 由二重积分的性质，当 f( x, y ) =1 时 区域D的面积 D A d 2.空间立体的体积 设曲面的方程为 z f x y x y D ( , ) 0,( , ) 对三重积分而言
则曲顶柱体的体积为V=∬fx,)o D 由三重积分的物理意义知空间闭区域Ω的体积为 =∬ 例1求z=2-x2-y2,z=x2+y2所围成的立体的体积 解一2在底面的投影为D:x2+y2=1 v=,-=∬2-x-yao-x+yao =21-如=可0-pp=x
则曲顶柱体的体积为 ( , ) D V f x y d 由三重积分的物理意义知空间闭区域 的体积为 V dv 所围成的立体的体积 2 2 2 2 求 z x y z x y 2 , 解一 2 2 2 2 2 1 (2 ) ( ) D D V V V x y d x y d 2 2 2 (1 ) D x y d 2 1 2 0 0 2 (1 ) d d 例1 2 2 在底面的投影为D x y ： 1
解二在D上取一小区域do,它对应的柱体的的体积为 dW=(2-x2-y2-x2-y2)do 所以r=∬2-x2-Jy2-x2-yaa 解三 2是柱形区域，用柱坐标 r-了ajop订t 2元 2- =2xp(2-2pdp=
解三 是柱形区域，用柱坐标 V dv 2 2 2 1 2 0 0 d d dz 1 2 0 2 (2 2 ) d 解二 在D d 上取一小区域 ,它对应的柱体的 体积为 2 2 2 2 dV x y x y d (2 ) 2 2 2 2 (2 ) D V x y x y d 所以