第五节对坐标的曲面积分 ● 一、有向曲面及曲面元素的投影 ·二、橇念及性质 ·三、计算法 四、禹美曲面积分之同的联素 ·五、小结思考题
第五节 对坐标的曲面积分 • 一、有向曲面及曲面元素的投影 • 二、概念及性质 • 三、计算法 • 四、两类曲面积分之间的联系 • 五、小结 思考题
一、有向曲面及曲面元素的投影 双侧曲面 ·曲面分类 曲面分内侧 单侧曲面 和外侧 曲面分上侧 曲面分左侧 和下侧 和右侧 莫比鸟斯带 (单侧曲面的典型)
一、有向曲面及曲面元素的投影 • 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧 和下侧 曲面分内侧 和外侧 曲面分左侧 和右侧 (单侧曲面的典型)
曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题：在曲面Σ上取一小块曲面△S, 曲面△S在xOy面上的投影（△S),为 (Ao),当c0sy>0时 当cosy<0时. 0 当cosy=0时 其中（△o)表示投影区域的面积， 类似可规定 y是曲面的法向量与z轴的夹角. (AS)(AS)
曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: ( ) 曲面 S xoy S 在 面上的投影 xy为 ( ) cos 0 ( ) ( ) cos 0 . 0 cos 0 xy S xy xy 当 时 当 时 当 时 ( ) . xy z 其中 表示投影区域的面积， 是曲面的法向量与 轴的夹角 在曲面 上取一小块曲面 S， 类似可规定 ( ) , ( ) S S yz zx
二、概念及性质 1、实例：流向曲面一侧的流量。 (1)流速场为常向量)，有向平面区域A,求单位 时间流过A的流体的质量Φ（假定密度为1）. 流量 Φ=Ac0s0 =Av.n=v.A
1、实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位 时间流过 A 的流体的质量(假定密度为 1). A v 0 n A Av n v A Av 0 cos 流量 二、概念及性质
(2) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1） 的速度场由 (x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 给出，Σ是速度场中的一片有向曲面，函数 P(x,y,),Q(x,y,z),R(x,y,z) 都在Σ上连续，求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量Φ
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数 P( x, y,z), Q( x, y,z), R( x, y,z) 都在 Σ 上连续, 求在单位 时间内流向 Σ 指定侧的流 体的质量. x y z o