第三节格林公式及其爱用 ·一、格林公式 ·二、年面上曲钱积分写路校无关的条件 ·三、二元西数的会微分求积 ·四、小结练习题
第三节 格林公式及其应用 • 一、格林公式 • 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 • 三、二元函数的全微分求积 • 四、小结 练习题
一、格林公式 1、区域连通性的分类 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D,则称D为平面单连通区域，否 则称为复连通区域 单连通区域 复连通区域
一、格林公式 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否 则称为复连通区域. 单连通区域 复连通区域 D D 1、区域连通性的分类
2、区域边界的方向 由L与L,连成 L由L,与L组成 边界曲线L的正向：当观察者沿边界行走时，区 域D总在他的左边
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边. 2、区域边界的方向 L L L 由 1 2 与 组成 L2 L1 L L L 由 1 2 与 连成 L2 L1
3、格林公式 定理设闭区域D油分段光滑的曲线L围成， 函数P(x,Jy)及Q(x,y)在D上具有一阶连续的 偏导数，则有 那)d=∮.P+0 (1) 其中L是D的取正向的边界曲线. 公式(1)叫作格林公式. 注意：(1)P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性； (2)曲线L是封闭的，并且取正向
3、格林公式 ( , ) ( , ) ( ) (1) . L D D L P x y Q x y D Q P dxdy Pdx Qdy x y L D 设闭区域 由分段光滑的曲线 围成， 函数 及 在 上具有一阶连续的 偏导数，则有 其中 是 的取正向的边界曲线 公式(1)叫作 定理 格林公式. 注意：(1) P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性; (2) 曲线L是封闭的,并且取正向
证明(1) y=0(x) 设区域D既是X-型又是 x=0y) B Y-型，即平行于坐标轴的 直线和L至多交于两点. x=42(0y) Cy=0(x) 0 b D={x,y)m,(x)≤y≤p(x,n≤x≤b} D={x,y)y)≤x≤2y),c≤y≤
1 2 D x y x y x a x b {( , ) ( ) ( ), } 证明(1) 1 2 D x y y x y c y d {( , ) ( ) ( ), } y o x a b cd 1 y x ( ) 2 y x ( ) D A B C E 2 x y ( ) 1 设区域D既是X -型又是 x y ( ) Y - 型 ,即平行于坐标轴的 直线和 L至多交于两点