第三爷三重积分 ·一、三重积分的橇念 ·二、三重积分的计算 ·三、小结练司数
第三节 三重积分 • 一、三重积分的概念 • 二、三重积分的计算 • 三、小结 练习题
一、三重积分的定义 设f(x,y,z)是空间上有界闭区域2的有界函数， 将闭区域2任意分成个小闭区域△y,△y2,.,△yn, 其中△y,表示第个小闭区域，也表它的体积，在每 一个△，上任取一点(5，5)作乘积f(5,7,5)△y: (i=1,2,.,m),并作和∑f(5,7,5)△y,如果当各个 i=l 小闭区域直径中的最大值趋于时这和的极限总存 在，则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域2上的三重 积分.记作订f(x,z)w,即
1 2 1 ( , , ) , , , ( , , ) ( , , ) ( 1,2, , ), ( , , ) ( , , ) n i i i i i i i i i n i i i i i f x y z n v v v v i v f v i n f v f x y z 设 是空间上有界闭区域 的有界函数， 将闭区域 任意分成 个小闭区域 ， 其中 表示第 个小闭区域，也表它的体积，在每 一个 上任取一点 ，作乘积 并作和 ，如果当各个 小闭区域直径中的最大值趋于零时这和的极限总存 在，则称此极限为函数 f x y z dv ( , , ) , 在闭区域 上的三重 积分.记作 即 一、三重积分的定义
∬fx,2=m2f5,n5,y i=1 其中dw叫做体积元素. 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面 的平面来划分2，则dy=dxdydz. 于是三重积分记作 j∬fx,z)w=可j∬fx,z)k 其中dck叫做直角坐标系中的体积元素
其中dv叫做体积元素. , d d d d . v x y z 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面 的平面来划分 则 其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素. 0 1 ( , , ) lim ( , , ) n i i i i i f x y z dv f v f x y z dv f x y z dxdydz ( , , ) ( , , ) 于是三重积分记作
三重积分的物理意义： 如果f(x,y,z)表示某物体在(x,y,z)处的质量密度， 2是该物体占有的空间区域，且f(x,y,z)在2上连 续，则和式∑f(传5，n,5:)△，就是物体质量m的近似 值，当入→0时的极限值即为物体质量，故 m=Jj∬f,yz)dw 特别的，当f(c,y,z)=1时，叮w=V,V是2的体积
1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) m m m ( , , ) ( , , ) 1 V,V n i i i i i f x y z x y z f x y z f v f x y z dv f x y z dv 如果 表示某物体在 处的质量密度， 是该物体占有的空间区域，且 在 上连 续，则和式 就是物体质量 的近似 值，当 0时的极限值即为物体质量 ，故 特别的，当 时， 是 的体积. 三重积分的物理意义：
二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 我们的思想是通过定积分或二重积分来计算三 重积分叮f(x,z)w,最终目标是化为三次积分. 方法： 方法1.投影法(“先一后二”) 方法2.截面法(“先二后一”) 最后，推广到一般可积函数的积分计算
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) f x y z dv ( , , ) , . 我们的思想是通过定积分或二重积分来计算三 重积分 最终目标是化为三次积分 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 方法: