第二节偏导赵 ·一、偏导数的定义及其计算法 ·二、高际偏导数 ·三、小猪
第二节 偏导数 • 一、偏导数的定义及其计算法 • 二、高阶偏导数 • 三、小结
一、偏导数的定义及其计算法 1.定义设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某一 邻域内有定义，当固定在y,而x在x,处有 增量△x时，相应的函数有增量 f(x+△x,y)-f(x,y) 如果 lim f(x+△x,y)-f(x,Jy) △x-→0 △x 存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点 (x,y)处对x的偏导数，记作
一、偏导数的定义及其计算法 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim ( , ) ( 1 , . ) x z f x y x y y y x x x f x x y f x y f x x y f x y x z f x y x y x 设函数 在点 的某一 邻域内有定义，当 固定在 ，而 在 处有 增量 时，相应的函数有增量 如果 存在，则称此极限为函数 在点 处对 的偏导 定义 数，记作
Ox af Oxx=x ’Oxx ,zl或f.x,= y=yo y=Yo y=Yo 类似地，函数z=f(x,y)在点(x,)处对的偏导数 定义为 lim f(xo,yo+Ay)-f(xo,Yo) △y-→0 △y 记作： Ox af a s或，(x, x=x0 ay x=x0 y=yo Y=Yo y=yo y=yo
0 0 0 0 0 0 0 0 , , ( , ) x x x x x x x x x x y y y y y y y y z f z f x y x x 或 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim y z f x y x y y f x y y f x y y 类似地，函数 在点 处对 的偏导数 定义为 0 0 0 0 0 0 0 0 , , ( , ) y y x x x x x x x x y y y y y y y y z f z f x y y y 记作： 或
如果函数z=f(x,y)在点区域D内每一点(x,y) 处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x,y 的函数，称为函数z=f(x,y)对自变量的偏导数， 记作应，或财，c,以 OxOx 同理可以定义函数z=f(化，y)对自变量的偏导数， 记作 ,或f,x,以 Ov'o
( , ) ( , ) , ( , ) ( , ). x x z f x y D x y x x y z f x y x z f z f x y x x 如果函数 在点区域 内每一点 处对 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 的函数，称为函数 对自变量 的偏导数， 记作 ， ， 或 ( , ) ( , ). y y z f x y y z f z f x y y y 同理可以定义函数 对自变量 的偏导数， 记作 ， ， 或
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u=f(x,y,z)在(x,y,)处 f.(x,八，z）=-lim+A,-fx,52习 △x0 △x f,x,z)=1imf比，y+Ay,2)-fx,z) △y→0 △y f(xy,)=lim+A)-f(x,y.z) △z-→0 △z
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z 如 u f ( x, y,z) 在 ( x, y,z) 处