《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章_12.8一般周期函数的傅里叶级数

第、节一般周期品数的傅里叶级数 ·一、水21为周期的傅里叶级数 ·二、典型例题 ·三、小猪

第八节 一般周期函数的傅里叶级数 • 一、以2l 为周期的傅里叶级数 • 二、典型例题 • 三、小结

一、以2为周期的傅氏级数 (a cos nox+bsin nox) 00 一般三角级数 n=1 T=2， 2π 2π 0 T 设f(x)是以2为周期的函数，则o= 2r_元 TI 所以(x)的傅里叶展开式为 IGX

一、以2l为周期的傅氏级数 2 T ,    2 . T     0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a n x b n x     一般三角级数    2 f x l ( ) 2 = T l   设 是以 为周期的函数,则  0 1 ( ) ( cos sin ), 2 n n n f x a n x n x a b l l        所以 的傅里叶展开式为

定理：设周期为2的周期函数f(x)满足收敛 定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为 0 其中系数an,bn为： f()cosxs (n=0,1,2,.) 6.=,f)in”,(a=l,2

0 1 2 ( ) , ( ) ( cos sin ), 2 , 1 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 ( )sin , ( 1,2, ) n n n n n l n l l n l l f x a n x n x f x a b l l a b n x a f x dx n l l n x b f x dx n l l                   :设周期为 的周期函数 满足收敛 定理的条件 则它的傅里叶级数展开式为 其中系数 为: 定理

00 ()如果f(c)为奇函数，则有f(x)=∑b,sin πX 1 n=1 其中系数为6-n"u= (2如果fx)为偶函数，则有fx)=+∑4，c0s nπx 2 n=1 cos 1 其中系数a,为a=/x)cos”x0n=心，h2) 证明 1,-l≤x≤l→-元≤z≤元， 设断)=f原=e,F以x为周现

(2) ( ) , 如果f x 为偶函数 则有 cos , 2 ( ) 1 0       n n l n x a a f x 0 2 ( )cos ( 0,1,2, ) l n n n x a a f x dx n l l    其中系数 为  证明 , l x z  令   l  x  l    z  , ( ) ( ) F(z), lz f x f   设  F(z)以2为周期. (1) ( ) , 如果f x 为奇函数 则有 1 ( ) sin , n n n x f x b l      0 2 ( )sin , ( 1,2, ) l n n n x b b f x dx n l l    其中系数 为 

F(a)(+) 2 a=(o成， =1 其中 A-上F() 元X .= F(z)=f(x) 00 n= 其中a,=,fcos听 6,=扩，fx)s"贤c

( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n        ( )sin . 1 ( )cos , 1           b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n ( )sin . 1 ( )cos , 1         l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l 其中 a F(z) f ( x) l x z     ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n    n   