第四节品数展开成幂级数 ·一、泰动级教 ·二、离数展开成幂级数 ●三、小结练习题
第四节 函数展开成幂级数 • 一、泰勒级数 • 二、函数展开成幂级数 • 三、小结 练习题
一、泰勒(Taylor)级数 上节例超2-1=n1+)(~1<x51) n=] n ●0 fx)=∑an(x-x)” 存在幂级数在其收敛 域内以fx)为和函数 n=0 问题：1.在什么条件下才能展开成幂级数？ 2.如果能展开，4m是什么？ 3.展开式是否唯一？
一、泰勒( Taylor )级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1 x x n x n n n n n n f ( x) a ( x x ) 0 0 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 2.如果能展开, an 是什么? 3.展开式是否唯一? 1.在什么条件下才能展开成幂级数?
若函数f(x)在。的某邻域内具有n+1阶导数，则在 该邻域内有： f=+f-+(x- 2! +.+(x-x”+R,( n! 此式称为f(x)的n阶泰勒公式其中 R,()=f+"5) (n+1): x-x)1 (专在x与x之间) 称为拉格朗日余项
0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( ) ( ) ( ) ! n n n f x f x f x f x x x x x f x x x R x n 其中 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x x n ( 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 :
若函数f(x)在x的某邻域内具有任意阶导数，则称 f+f-)+f-x 2: ++fx-x+ n! -2X- x∈U(x) 为fx)在xo点的泰勒级数，或泰勒展开式. 尚待解决的问题： 1)对此级数，它的收敛域是什么？ 2)在收敛域上，和函数是否为fx)?
为f (x) 在x0点的泰勒级数，或泰勒展开式 . 则称 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( ) ( ) ! 1 ( )( ) ( ) ! n n n n n f x f x f x x x x x f x x x n f x x x x U x n 尚待解决的问题 :
,x≠0 x=0 在x=0点任意可导，且f(0)=0(n=0,1,2,.） f(x)的麦氏级数为∑0·x” n=0 该级数在(-0，+0)内和函数s(x)三0.可见 除x=0外，f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x)
0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例 如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) n 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在( , )内和函数 s( x) 0. 可见 除 x 0 外, f ( x)的麦氏级数处处不收敛于 f ( x) . 在x=0点任意可导