《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十章_10-2二重积分的计算

交换积分次序的步骤 ()将已给的二次积分的积分限得出相 应的二重积分的积分区域，并画出草图； (2)按相反顺序写出相应的二次积分：

交换积分次序的步骤 (1) 将已给的二次积分的积分限得出相 应的二重积分的积分区域, (2) 按相反顺序写出相应的二次积分. 并画出草图;

二次积分一定能交换次序》 答不一定！ 当x2+y2≠0时， 0. 当x2+y2=0时. 4-a,由于4p)卢fn 故x={e=4x 所以I=dx,J=+k=arctan

二次积分一定能交换次序 答 不一定! 例如:             0, 0 . , 0 , ( , ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 当 时 当 时 设 x y x y x y x y f x y d ( , )d , 1 0 1 0 1 I x f x y y    由于 2 2 y y x y           故   f (x, y)dy 1 0    1 0 2 d 1 1 x x     I dx f (x, y)dy 1 0 1 0 所以 1 , 4   f (x, y),1 0 arctan x            y x y y y d 1 0 2 2   1 0 2 2 x y y ; 1 1 2 x 

说明：当fx,)在所考虑的区域上连续时， 二次积分可以交换积分次序. 团-ar脚图 -f地由于Ae以 刻w-a7 所以图-forfr=1+d=-ar ☑x≠f网

例如:             0, 0 . , 0 , ( , ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 当 时 当 时 设 x y x y x y x y f x y     I dx f (x, y)dy 1 0 1 0 1 , 4  d ( , )d , 1 0 1 0 I2 y f x y x    由于            2 2 x y x x 故   f (x, y)dx 1 0     y y 1 0 2 d 1 1 所以 . 4        I dy f (x, y)dx 1 0 1 0 2    dx f (x, y)dy 1 0 1 0 d ( , )d . 1 0 1 0 y f x y x   f (x, y),             x x y x x d 1 0 2 2    1 0 2 2 x y x ; 1 1 2  y  1 0  arctan y 说明: 当f (x, y)在所考虑的区域上连续时, 二次积分可以交换积分次序

例6 计算二次积分de sin2)4 分析siny2对y的积分不能用基本积分法算出， 而它对x的积分可用基本积分法算出. 所以将二次积分先交换积分次序。 交换积分次序的方法是： ()将所给的积分域用联立不等式表示D: 0≤x≤1，x≤y≤1 (2) 画出积分域的草图 (1,1) (3)改写D为：0≤y≤1,0≤x≤y y=x

例6 x y y x d sin d 1 0 1 2   siny 2 对y的积分 而它对x的积分 交换积分次序的方法是: 改写D为: o x y 分析 所以将二次积分先 (1) 将所给的积分域 (2) 画出积分域的草图 (3) 计算二次积分 不能用基本积分法算出, y  x (1,1) 可用基本积分法算出. 交换积分次序. 用联立不等式表示 D: 0  x  1, x  y  1 0  y  1, 0  x  y