第三节幂級数 ·一、品数须级数的一般橇念 ·二、幂级数及其收敛性 ·三、幂级数的运算 ·四、小结徐习题
第三节 幂级数 • 一、函数项级数的一般概念 • 二、幂级数及其收敛性 • 三、幂级数的运算 • 四、小结 练习题
一、函数项级数的一般概念 设，(x),42(x),.,4n(x),.是定义在IsR上的 函数，则∑4n()=4,(x)+,(x)+.+n(x)+. n= 称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数， 例如级数 ∑x"=1+x+x2+.g n=0
一、函数项级数的一般概念 1 , 2 0 x x x n 例如级数 n 1 2 1 2 1 ( ( ), ( ), , ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ) . n n n n u x u x u x I R u x u x u x u x I 设 是定义在 上的 函数，则 称为定义在区间 上的 函数项 无穷级数
如果x,∈1，数项级数∑4n(x)收敛， n=1 则称x为级数∑“(x)的收敛点，否则称为发散点. 60 I= 函数项级数∑4，(x)的所有收敛点的全体称为收敛域， n=1 所有发散点的全体称为发散域. 在收敛域上，函数项级数的和是x的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数 s(x)=u(x)+儿2(x)+.+un(x)+., (定义域是)
(定义域是?) 0 0 1 ( ) n n x I u x 如 果 ， 数 项 级 数 收 敛 ， 0 1 ( ) . n n x u x 则 称 为 级 数 的 收 敛 点 ， 否 则 称 为 发 散 点 1 ( ) n n u x 函数项级数 的所有收敛点的全体称为 所有发散点的全体称为 收敛域， 发散域. 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , n x s x s x s x u x u x u x 在收敛域上，函数项级数的和是 的函数 ， 称 为函数项级数的和函数
函数项级数的部分和Sn（x), lim s,(x)=s(x) n-→o 余项rn(x)=s(x)-Sn(x) lim r (x)=0 (x在收敛域上) 注意 函数项级数在某点x的收敛问题，实质上 是数项级数的收敛问题
lim s ( x) s( x) n n 函数项级数的部分和 余项 r ( x ) s( x ) s ( x ) n n lim ( ) 0 (x在收敛域上) r x n n 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题. s ( x ), n
例1 求级数-1少(，1的收敛域。 n=1 n1+x 解 由达朗贝尔判别法 u+1(x)_n 1 a,()n+11+i+对a→m) w当41，→1+1 即x>0或x<-2时，原级数绝对收敛
例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n n x n 1 1 1 ( ) 1 1 n x 1, 1 1 (1) x 当 即 x 0或 x 2时 , 原级数绝对收敛. 1 x 1