第二节常数项级数的审效法 ·一、正项级赵及其审敛法 ·二、安精级数及其审敛法 ·三、绝对收敛与条件收敛 ·四、绝对收敛级数的性质 ”五、小结徐习题
第二节 常数项级数的审敛法 • 一、正项级数及其审敛法 • 二、交错级数及其审敛法 • 三、绝对收敛与条件收敛 • 四、绝对收敛级数的性质 • 五、小结 练习题
一、正项级数及其审敛法 1.定义：如果级数∑4中各项均有4n≥0， 1=1 这种级数称为正项级数 2.正项级数收敛的条件 设级数叫1+山2+.+4n+.是正项级数， Sn是其部分和，则有S≤S2≤.≤Sn≤. 即部分和数列{s为单调增加数列. 定理1正项级数收敛一部分和所成的数列s有界
1.定义: 1 0 n n n u u 如果级数 中各项均有 ， 这种级数称为正项级数. 1 2 1 2 n n n u u u s s s s 设级数 是正项级数， 是其部分和，则有 2.正项级数收敛的条件 1 . n 定理 正项级数收敛部分和所成的数列 s 有界 即部分和数列 { } sn 为单调增加数列. 一、正项级数及其审敛法
正项级数收敛一部分和所成的数列5n有界. 例判定22+的敛散性， 00 解由于，1 2”+1 2,故级数的部分和 11 Sn= 2+122+1 2”+1 11 八+22大···+ 由定理1知，该正项级数收敛。 这个例启示我们：判定一个正项级数的敛散性， 可与另一个已知敛散性的正项级数比较来确定
例 判定 的敛散性. 1 2 1 1 n n 解 2 1 1 n 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n n S n 2 1 2 1 2 1 2 n 2 1 1 由定理1知, 故级数的部分和 可与另一个已知敛散性的正项级数比较来确定. , 2 1 n 1 该正项级数收敛. 这个例启示我们:判定一个正项级数的敛散性, 由于 正项级数收敛 部分和所成的数列 ns 有界
0 0 定理2（比较审敛法）设∑4和∑y均为正项级数， n=1 n=1 且≤ynm=1,2b若∑，收敛，则∑4.收敛； n=l 反之，若∑4发散，则∑，发散。 n=] n=1 证明（设o=∑。“4，≤y, s 且sn=41+2++4m≤y1+y2++yn≤o, 即部分和数列有界.】 收敛
证明 n n 1 2 且s u u u 1 (1) n n v 设 , u v n n , 即部分和数列有界 1 . n n u 收敛 1 1 1 1 1 1 ( 1,2, ) . 2( ) n n n n n n n n n n n n n n u v u v n v u u v 设 和 均为正项级数， 且 ，若 收敛，则 收敛； 定理 比较审敛法 反之，若 发散，则 发散 1 2 n v v v
(2(反证法)假设∑，收敛， =1 4≤y,“∑4.收敛，与题设矛盾。 2发散 定理证毕 00 推论设∑4n和∑'均为正项级数，若∑y收敛， n=1 n=1 n=1 且存在正整数N,使得当n≥N时有wn≤kyn(k>0) 成立，则∑4收敛：若∑，发散，且存在正整数N, 使得当n≥N时有n≥yn(k>0)成立，则∑，发散
1 (2)( ) n n v 反证法 假设 收敛， 1 . n n v 发散 定理证毕. 1 1 1 1 1 1 , ( 0) , ( 0) n n n n n n n n n n n n n n n n u v v N n N u kv k u v N n N u kv k u 设 和 均为正项级数，若 收敛， 且存在正整数 使得当 时有 成立，则 收敛；若 发散,且存在正整数 使得当 时有 成立，则 推论 发散. 1 , n n n n u v u 收敛，与题设矛盾