、 解析函数 1解析函数的定义 如果函数f(z)在。及2的邻域内处处可导， 那末称f(z)在z解析. 如果函数f(z)在区域D内每一点解析，则称 f(z)在区域D内解析.或称f(z)是区域D内的一 个解析函数 说明： ()函数在点z处可导，不一定在点z处解析，但是函数 在z点处解析，必定在点z处可导」
那末称 在 解析. 如果函数 在 及 的邻域内处处可导, ( ) ( ) 0 0 0 f z z f z z z . ( ) . ( ) ( ) , 个解析函数 在区域 内解析 或称 是区域 内的一 如果函数 在区域 内每一点解析 则称 f z D f z D f z D 11 说明: , . (1) , , 在 点处解析 必定在点 处可导 函数在点 处可导 不一定在点 处解析 但是函数 z z z z 二、解析函数 1.解析函数的定义
(2)函数在一点处解析与在一点处可导是不等价： (3)函数在区域内解析与在区域内可导是等价的 (4)函数在闭区域内解析是指函数在包含闭区域 在内的更大的区域内解析 2.奇点的定义 若函数f(z)在z,不解析，那末称z为f(z)的奇点 (1)z处可导，但是z空心邻域内处处不可导 (2)z及z空心邻域内处处不可导. (3)z处不可导，而z空心邻域内处处可导；
( ) , ( ) . 若函数 f z 在z0不解析 那末称z0为f z 的奇点 12 (2)函数在一点处解析与在一点处可导是不等价. (3)函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. (3) , ; z0处不可导 而z0空心邻域内处处可导 (1) , . z0处可导 但是z0空心邻域内处处不可导 (2) . z0及z0空心邻域内处处不可导 2.奇点的定义 . (4) 在内的更大的区域内解析 函数在闭区域内解析是指函数在包含闭区域
例4研究函数f(z)=z2,g(z)=x+2yi和 h(z)=z的解析性. 解 由本节例1和例3知： f(z)=z2在复平面内是解析的； g(z)=x+2yi处处不解析； 下面讨论h(z)=z2的解析性， (3+△z)-hz)_乙+△z2-z2 △z △z
例4 ( ) .( ) , ( ) 2 2 2 的解析性 研究函数 和 h z z f z z g z x yi 解 由本节例1和例3知: ( ) ; f z z 2 在复平面内是解析的 g(z) x 2 yi 处处不解析 ; ( ) , 2 下面讨论 h z z 的解析性 z h z z h z ( ) ( ) 0 0 z z z z 2 0 2 0 13
-区+A3tA）-3=Z+a+x △z △z (1)z0=0, lim h(z+△z)-h3）=0. △z-→0 △z (2)z0≠0， 令+△z沿直线y-y=k(x-)趋于， 1-4业 A-A1 △x =1-k △z△x+i讼y 1+i 1+ik △x
z z z z z z z 0 0 0 0 ( )( ) , 0 0 z z z z z (1) 0, z0 0. ( ) ( ) lim 0 0 0 z h z z h z z (2) 0, z0 ( ) , 0 0 0 0 令 z z 沿直线 y y k x x 趋于 z z z x i y x i y x y i x y i 1 1 ik ik 1 1 14
由于k的任意性， △z_1-i不趋于一个确定的值. △z1+ki lim (乙+△z)-h()不存在. △z-→0 △z 因此h(z)=z2仅在z=0处可导，而在其他点都 不可导，根据定义，它在复平面内处处不解析. 15
由于 k的任意性, . 1 1 不趋于一个确定的值 ki ki z z . ( ) ( ) lim 0 0 0 不存在 z h z z h z z , , . ( ) 0 , 2 不可导 根据定义 它在复平面内处处不解 析 因此 h z z 仅在 z 处可导 而在其他点都 15