第四节对数留数与辐角原理 一、对数留数 二、辐角原理 三、儒歇定理 四、典型例题
第四节对数留数与辐角原理 一、对数留数 二、辐角原理 三、儒歇定理 四、典型例题
一、对数留数 1.定义5.6 形 d的积分称为f(z)关于C的对数留数. 对于对数留数，我们有下面的一个重要定理 定理5.10如果f(z)在简单闭曲线C的内部除去有限 各极点外是解析的，并在C上解析且不为零，则有 2如1得=-P
一、对数留数 1.定义5.6 ( ) . ( ) ( ) 2 1 ' 形如 dz的积分称为f z 关于C的对数留数 f z f z i C 对于对数留数，我们有下面的一个重要定理 各极点外是解析的 并在 上解析且不为零 则有 定理 如果 在简单闭曲线 的内部除去有限 , , 5.10 ( ) C f z C dz N P f z f z i C = − ( ) ( ) 2 1 '
其中W为f(z)在C内的零点的总个数，P为f(z)在C内 的极点的总个数，在计算零点与极点的个数时，m阶 的零点或极点算作m个零点或极点 证明：设f(z)在C内有一个n阶的零点ak,则在a的邻 域内，有 f(z)=(z-a)"o(=) 其中p(z)在a,则在a,的邻域内解析，且p(a)≠0，有 f()=nk+0(2） f() z-dk p(z)
. , , ( ) , ( ) 的零点或极点算作 个零点或极点 的极点的总个数 在计算零点与极点的个数时 阶 其中 为 在 内的零点的总个数 为 在 内 m m N f z C P f z C 域内 有 证明 设 在 内有一个 阶的零点 则在 的邻 , : ( ) , C nk ak ak f z f (z) (z a ) (z) k n = − k 其中(z)在ak ,则在ak 的邻域内解析,且(ak ) 0,有 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' z z z a n f z f z k k + − =
因为p(z)在a处解析，所以p'(z)在a处解析，且p(ak)≠0， 从而2已在a,处解折，所以a,是包 简单极点，且留数 p(=) f(a) 为nk: 设f(z)在C内有一个p阶的极点b,则在b的邻域内，有 1 fa)Fe-na 其中(z)在b的邻域内解析，且yw(b)≠0，于是有 f()_-PLv(E) f(2)z-bk v()
( ) , ( ) , ( ) 0, k k k 因为 z 在a 处解析 所以 z 在a 处解析 且 a ‘ . , ( ) ( ) , ( ) ( ) k k k n f z f z a a z z 为 从而 在 处解析 所以 是 简单极点 且留数 ‘ ‘ 设f (z)在C内有一个pk 阶的极点bk ,则在bk 的邻域内,有 ( ) ( ) 1 ( ) z z b f z k p k − = 其中(z)在bk 的邻域内解析,且(bk ) 0,于是有 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' z z z b p f z f z k k + − − =
从而在处解折，所以6，是I回， 简单极点，且留数 w(z) f() 为-Pk: 得-2得%1小得刻 =(n+n2+.+h)-(p+p2+.+pm)=N-P 定理证毕
. , ( ) ( ) , ( ) ( ) k k k p f z f z b b z z 为− 从而 在 处解析 所以 是 简单极点 且留数 ‘ ‘ = = = + m k k l k k C b f z f z a s f z f z dz s f z f z i 1 ' 1 ' ' , ] ( ) ( ) , ] Re [ ( ) ( ) Re [ ( ) ( ) 2 1 = (n1 + n2 ++ nl ) −( p1 + p2 ++ pm ) = N − P 定理证毕