第二节解析函数和调和函数的关系 一、调和函数的定义 二、解析函数的构造
第二节 解析函数和调和函数的关系 一、调和函数的定义 二、解析函数的构造
一、调和函数的定义 1.定义2.3如果二元实函数p(x,y)在区域内有 二阶连续偏导数，并且满足二维拉普拉斯方程 a0,a0 02 二0 则称0(x,y)为区域D内的调和函数，或说函数 p(x,y)在区域D内调和
二阶连续偏导数,并且满足二维拉普拉斯方程 1.定义2.3如果二元实函数(x, y)在区域内有 0 2 2 2 2 = + x y 在区域D内调和. 则称 为区域D内的调和函数,或说函数 ( , ) ( , ) x y x y 2 一、调和函数的定义
例1函数4(x,)=x2-y,(x,)=,y 。是调和 x2+y 函数。 2.解析函数和调和函数的关系 定理2.3设函数f(z)=u(x,y)+iw(x,y)在区域 D内解析，则实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是区域 D内的调和函数 注意：
2.解析函数和调和函数的关系 D内的调和函数. D内解析,则实部 和虚部 都是区域 定理2.3 设函数 在区域 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) u x y v x y f z = u x y + iv x y 注意： 3 函数。 例1.函数 ( , ) 2 2 , ( , ) 2 2 是调和 x y y u x y x y v x y + = − =
(1)任意两个调和函数构成的复变函数不一定 是解析函数. 例题2.函数u,v如例定义，u+v不是解析函数 (2)此外(x,y)和v(x,y)满足柯西黎曼方程. Ou Ov ou Ov ax ay ay Ox 2.共轭调和函数 设函数p(x,y)和w(x,y)均在区域D内的调和函 数，并且满足柯西黎曼方程
2.共轭调和函数 数,并且满足柯西黎曼方程 设函数(x, y)和 (x, y)均在区域D内的调和函 是解析函数. (1)任意两个调和函数构成的复变函数不一定 (2)此外u(x, y)和v(x, y)满足柯西黎曼方程. 例题2.函数u,v如例1定义，u +iv不是解析函数. 4 , y v x u = x v y u = −
∂p aw bo &x ay y ax 则称w是p的共轭调和函数 注意(1)w和o的位置不能颠倒。 (2)p,y都是调和函数，并且满足C-R方程。 由上述定义，可以得到如下的结论 定理2.4复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 D内解析的充分必要条件是：在区域D内，f(z)的 虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数
则称是的共轭调和函数. , x y = y x = − 虚部 是实部 的共轭调和函数. D内解析的充分必要条件是:在区域 内 的 定理2.4复变函数 在区域 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) v x y u x y D f z f z u x y iv x y , = + 5 由上述定义,可以得到如下的结论 注意(1)和的位置不能颠倒。 (2),都是调和函数,并且满足C−R方程