第二节留数及留数定理 一、 留数的引入 二、留数定理及其应用 三、留数的计算方法 四、无穷远点的留数 五、典型例题
第二节留数及留数定理 一、留数的引入 二、留数定理及其应用 四、无穷远点的留数 三、留数的计算方法 五、典型例题
留数的引入 设z为f(z)的一个孤立奇点； z的某去心邻域0<z-0<R 邻域内包含乙，的任一条正向简单闭曲线 f(z)在0<k-z<R内的洛朗级数： fe)=+cn(e-)广”++c(-2)+.+G +C(z-z0)+.+Cn(亿-)+
0 1 0 1 0 f (z) c (z z ) c (z z ) c n n = + − + + − + + − − − − C 0 设 z 为 f (z) 的一个孤立奇点; f (z) z − z R 内的洛朗级数: 0 在 0 + c1 (z − z0 ) ++ cn (z − z0 ) n + 0 z . z0 的某去心邻域 0 z − z0 R 邻域内包含 0 z 的任一条正向简单闭曲线 2 一、留数的引入
积分∫fz)dz =+cfz-z)业++cfz-z)广八dz+. (高阶导数公式) 2元d +fcodz+fc(z-zo++fc(z-4o)"dz+. 0(柯西-古萨基本定理) =2πi论- 洛朗级数中负幂项1(z-z0)的系数
1 2 = − ic + c z + c z − z z ++ c z − z n z + C n C C 0d 1 ( 0 )d ( 0 ) d = + − − − ++ − − − + C C n n c (z z ) dz c (z z ) dz 1 0 1 0 C 积分 f (z)dz 0 (高阶导数公式) 0 (柯西-古萨基本定理) 2i 洛朗级数中负幂项c−1 (z − z0 ) −1的系数 3
即1 2n ff(=d==c=Res[f(=),zo] 定义1：函数f(z)在z的空心邻域内展成的洛朗 级数中负一次项的系数c,称为函数f(z)在z。 处的留数。 可记为：Res[f(z),2o]=c 关于留数定义的几点说明： (1)此处的定义只是对于有限的孤立奇点来说，对 于无穷远点为孤立奇点处的留数后面另有定义
Re [ ( ), ]0 = s f z z d 1 ( ) 2 1 = − f z z c i C 即 处的留数。 级数中负一次项的系数 ，称为函数 在 定义 ：函数 在 的空心邻域内展成的洛朗 1 0 0 ( ) 1 ( ) c f z z f z z − 0 1 Re [ ( ), ] = − 可记为： s f z z c 关于留数定义的几点说明： 于无穷远点为孤立奇点处的留数后面另有定义. (1)此处的定义只是对于有限的孤立奇点来说,对
(2)如果z是f(z)的可去奇点，则有Res[f(z),zo]=0 (3)留数定义蕴含的公式提供了一种计算积分的新 的方法. xtcResl/() 或者ff(zdz=2c-1=2πRes[f(),2o] 例1：求z在孤立奇点z=0处的留数
的方法. (3)留数定义蕴含的公式提供了一种计算积分的新 (2)如果z0 是f(z)的可去奇点,则有Res[ f(z),z0 ]= 0 5 ( )d Re [ ( ), ] 2 1 1 0 f z z c s f z z i C = − = ( )d 2 2 Re [ ( ), ] 1 0 f z z ic i s f z z C = − = 或者 例1:求ze 在孤立奇点z = 0处的留数. z 1