《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 解析函数 2.1 解析函数

第一节解析函数 一、复变函数的导数 二、解析函数的概念与求导法则 三、函数解析的一个充分必要条件 四、小结与思考

第一节 解析函数 一、复变函数的导数 二、解析函数的概念与求导法则 三、函数解析的一个充分必要条件 四、小结与思考

一、 复变函数的导数 定义2.1 设函数w=f(z)定义于区域D,z为D中的一 点，点z。+x不出D的范围 如果极限i f(3+也)-f(3 2存在 △x-0 △ 那末就称f(z)在z可导这个极限值称为f(z)在。 的导数， 记作f'(zo)= dw lim f(2+△)-f(zo) dz △z-0 △

定义2.1 , , ( ) , 0 0 点 点 不出 的范围 设函数 定义于区域 为 中的一 z z D w f z D z D   , ( ) . ( ) 0 0 的导数 那末就称 f z 在z 可导这个极限值称为 f z 在 z . ( ) ( ) lim d d ( ) 0 0 0 0 0 z f z z f z z w f z z z z           记作 , ( ) ( ) lim 0 0 0 如果极限 存在 z f z z f z z      2 一、复变函数的导数

在定义中应注意： (1)z+△z→z(即△z→0)的方式是任意的. 即z。+△z在区域D内以任意方式趋于z时， 比值f(+△)-f都趋于同一个数. △z (2)f(z)在z=z处可导，则f(z)在z=z处连续. (3)称(z)=f'(z)△z=f(z)为f(z)在z=z0 处的微分， (4)如果函数f(z)在区域D内处处可导，我们就 称f(z)在区域内D可导

在定义中应注意: (1) ( 0) . z0  z  z0 即z  的方式是任意的 . ( ) ( ) , 0 0 0 0 比值 都趋于同一个数 即 在区域 内以任意方式趋于 时 z f z z f z z z D z       ( ) . (4) ( ) , 称 在区域内 可导 如果函数 在区域 内处处可导 我们就 f z D f z D (2) ( ) ( ) . f z 在z  z0处可导，则f z 在z  z0处连续 . (3) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ' 0 ' 0 处的微分 称df z  f z z  f z dz为f z 在z  z 3

例1求f(z)=z的导数. 解 f(a)=1imfz+△)-f) △z→0 △z (z+△z)2-z2 lim △z→0 △z =lim(2z+△z)=2z. △z-→0 (z2)=2z

例1 ( ) . 求f z  z 2的导数 z f z z f z f z z         ( ) ( ) ( ) lim 0 解 z z z z z        2 2 0 ( ) lim lim(2 ) 0 z z z       2z. (z ) 2z 2   4

例2讨论f(z)=Imz的可导性. 解 △f=f(z+△z)-f(z)_Im(z+△z)-Imz △z △z △z =Imz+ImAz-Im3=Im△ △Z △z Im(△x+iy）= △y △x+i△y △x+iy 当点沿平行于实轴的方向（△y=0)而使△z→0时

例2 讨论f (z)  Im z的可导性 . z f z z f z z f       解  ( ) ( ) z z z z      Im( ) Im z z z z      Im Im Im z z    Im x i y x i y        Im( ) , x i y y      当点沿平行于实轴的方向(y  0)而使z  0时, 5