第三节柯西积分公式 一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题
一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 第三节柯西积分公式
一、问题的提出 设B为一单连通域，乙为B中一点. 如果f)在B内解析，那末f(②）在不解析. -Zo 所以{。f3)d起一般不为零， 7一Z0 C为B内围绕z的闭曲线.根据闭路变形原理知， 该积分值不随闭曲线C的变化而改变，求这个值
, . 设 B为一单连通域 z0 为B中一点 d , ( ) 0 C − z z z f z 所以 一般不为零 . ( ) ( ) , 0 0 如果 在 内解析 那末 在 z 不解析 z z f z f z B − 根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. . C 为 B内围绕 z0 的闭曲线 2 一、问题的提出
积分曲线C取作以z为中心，半径为很小的6 的正向圆周z-2o=6, 由f(z)的连续性， 在C上函数f(z)的值将随着δ的缩小而逐渐 接近于它在圆心z。处的值， 复儿曰d将接近于，t6缩小 z-20 2-20 美=啡t2
, , 0 0 z − z = C z 的正向圆周 积分曲线 取作以 为中心 半径为很小的 由 f (z)的连续性, , ( ) 接近于它在圆心 0 处的值 在 上函数 的值将随着 的缩小而逐渐 z C f z d . ( ) ( ) d ( ) 0 0 0 将接近于 缩小 C − C − z z z f z z z z f z C − z z z f z d ( ) 0 0 d 2 ( ). 1 ( ) 0 0 0 z if z z z f z C = − = 3
二、柯西积分公式 定理3.7设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区 域D内解析，在D=DUC上连续，z为D内任意一 点，则 f,)=f 2πicz-20 证 因为f(z)在连续， 则Vε>0,36(8)>0
二、柯西积分公式 定理3.7 z0 D C 证 ( ) , 因为 f z 在 z0 连续 则 0, ( ) 0, 4 , D , D D C , D ( ) C 0 点 则 域 内解析 在 上连续 为 内任意一 设函数 在简单闭曲线 所围成的区 z f z = − = C z z z f z i f z d . ( ) 2π 1 ( ) 0 0
当z-z<6时，f(z)-f(z)<8. 设以z为中心，半径为R(R<6)的正向圆周K: ?-0=R全在C的内部， 则1但- =+1八 乙-Z0 -2a+-a
z0 D C K , 当 z − z0 时 ( ) ( ) . 0 f z − f z , , ( ) : 0 0 全在 的内部 设以 为中心 半径为 的正向圆周 z z R C z R R K − = R C − z z z f z d ( ) 0 则 − = K z z z f z d ( ) 0 − − + − = K K z z z f z f z z z z f z d ( ) ( ) d ( ) 0 0 0 0 − − = + K z z z f z f z if z d ( ) ( ) 2 ( ) 0 0 0 5