第一节孤立奇点 一、孤立奇点概念及分类 二、函数零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态 四、小结与思考
一、孤立奇点概念及分类 第一节孤立奇点 二、函数零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态 四、小结与思考
一、孤立奇点定义及分类 1.定义4.4若z为函数f(z)的一个奇点，f(z)在z去心 邻域0<z-z<内处处解析，则z称为f(z)的孤立 奇点 例1z=0是函数e, inz 的孤立奇点 z=一1是函数 1 的孤立奇点. z+1
例1 z = 0 是函数 z z e z sin , 1 的孤立奇点. z = −1 是函数 1 1 z + 的孤立奇点. 2 奇点 邻域 内处处解析 则 称为 的孤立 定义 若 为函数 的一个奇点 在 去心 0 , ( ) 1. 4.4 ( ) , ( ) 0 0 0 0 z z z f z z f z f z z − 一、孤立奇点定义及分类
注：奇点不一定是孤立奇点，但孤立奇点一定是奇点 例2指出函数fe)= 1在点z=0的奇点特性 sin- 解函数的奇点为2=0,2= k元 (k=±1，±2，) 1 因为im,1=0, k-→∞kT 即在z=0的不论怎样小的去心邻域内，总有f(?) 的奇点存在，所以z=0不是孤立奇点
例2 指出函数 在点 z = 0 z z f z 1 sin ( ) 2 = 的奇点特性. 解 = = k z z 1 0, (k = 1, 2, ) 因为 0， 1 lim = k→ k 即在 z = 0 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 f (z) 所以 z = 0不是孤立奇点. 3 注:奇点不一定是孤立奇点,但孤立奇点一定是奇点
2.孤立奇点的分类 依据f(z)在其孤立奇点z的去心邻域 0<z-z0<δ内的洛朗级数的情况分为三类： 1.洛朗级数中不出现z-z的负幂项，则z为f(z)可去 奇点 2.洛朗级数中有有限个z-z的负幂项，则z为f(z)的 极点 3.洛朗级数中有无穷多z-z的负幂项，则z为f(z)的 本性奇点
依据 f (z) 在其孤立奇点 0 z 的去心邻域 − 0 0 z z 内的洛朗级数的情况分为三类: 4 2.孤立奇点的分类 . 1. , ( ) 0 0 奇点 洛朗级数中不出现z − z 的负幂项 则z 为f z 可去 . 2. , ( ) 0 0 极点 洛朗级数中有有限个z − z 的负幂项 则z 为f z 的 . 3. , ( ) 0 0 本性奇点 洛朗级数中有无穷多z − z 的负幂项 则z 为f z 的
1.可去奇点 (1)洛朗级数中不出现z-z的负幂项，则z为f(z)可去 奇点 f(z)=c+C(亿-z0)+.+cn(z-0)”+. (2)可去奇点的极限特征 定理5.1设函数f(z)在0<z-20<6内解析，那么 z是f(z)的可去奇点的充分必要条件是：存在有 限极限limf(z)=Co,其中C是一复常数
1.可去奇点 . (1) , ( ) 0 0 奇点 洛朗级数中不出现z − z 的负幂项 则z 为f z 可去 (2)可去奇点的极限特征 限极限 其中 是一复常数. 是 的可去奇点的充分必要条件是:存在有 定理5.1设函数 在 内解析,那么 0 0 0 0 lim ( ) , ( ) ( ) 0 0 f z C C z f z f z z z z z = − → ( ) ( ) ( ) . f z = c0 + c1 z − z0 ++ cn z − z0 n +