第四节 高阶导数 一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题
第四节 高阶导数 一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题
一、问题的提出 问题： ()解析函数是否有高阶导数？ (2)若有高阶导数，其定义和求法是否与实变函 数相同？ 解答： ()解析函数有各高阶导数. (2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过 积分来表示，这与实变函数完全不同
一、问题的提出 问题: (1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函 数相同? 解答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过 积分来表示, 这与实变函数完全不同
二、高阶导数公式 定理3.9设函数f(z)在简单闭曲线C围成的区域D 内解析，而在D=DUC上连续，则f(z)的各级导数 均在D内解析，对D内任意一点z有， f(=)= d(d (2) n f() 上述公式为解析函数的高导数公式
均在D内解析,对 内任意一点 有, 内解析,而在 上连续,则 的各级导数 定理3.9设函数 在简单闭曲线 围成的区域 z D D C f z f z C D D ( ) ( ) = 3 二、高阶导数公式 d ( 1,2, ) ( ) ( ) 2π ! ( ) 1 ( ) = − = + n z f i n f z C n n 上述公式为解析函数的高阶导数公式
证明：考虑=1的情形，根据柯西积分公式 f(z+△)-f(z) △z aa 因此有 fe+)-f9）_1ff5) △z 店： d
证明：考虑n =1的情形,根据柯西积分公式 z f z z f z ( + ) − ( ) d z z z f i z C ] 1 1 ( )[ 2 1 − − − − = 因此有 d z f z i f z z f z C − − + − 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 d z z z f i z C − − − = ( ) ( ) ( ) 2 2 4
对于上式右端的积分值，作如下的估计. 因为f(5)在C上连续，可设M是f(5)在C上的最大 值，并设为点z到C上的最短距离，于是当在C上时， 有郁-≥d先取A<则有 5-a山≥5-4分 所以有 2ML ≤ M L= 82 63 2
对于上式右端的积分值，作如下的估计. 有 先取 则有 值,并设 为点 到 上的最短距离,于是当 在C上时, 因为 在C上连续，可设 是 在 上的最大 , z 2 , ( ) ( ) − z z C f M f C 2 − z − z − z − z 所以有 3 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ML L M d z z z f C = − − − 5