lim △f=1i fz+△z)-f(z）=lim y -=0, △z→0△z △z-→0 △Z △0△x+i讼y △y=0 当点沿平行于虚轴的方向（△x=0)而使△z→0时， Ay 1 lim =limf(z+△)-f(）=lim, △z→0△Z △z→0 △z 0△x+iAyi” △x=0 当点沿不同的方向使△z→0时，极限值不同， 故f(z)=Imz在复平面上处处不可导
z f z z f z z f z z ( ) ( ) lim lim 0 0 lim 0, 0 0 x i y y y x 当点沿平行于虚轴的方 向(x 0)而使z 0时, z f z z f z z f z z ( ) ( ) lim lim 0 0 , 1 lim 0 0 x i y i y x y 当点沿不同的方向使 z 0时,极限值不同 , 故f (z) Im z在复平面上处处不可导 . 6
例3问f(z)=x+2yi是否可导？ 解 lim Af =lim f(z+△z)-f(z) △z→0△z △z-→0 △z lim (x+△x)+2(y+△y)i-x-2yi △z→0 △z ↑y △x+2△yi lim △y=0 Az→0△x+△yi ⊙ +x 设z+△z沿着平行于x轴的直线趋向于z
例3 问f (z) x 2yi是否可导？ z f z z f z z f z z ( ) ( ) lim lim 0 0 解 z x x y y i x yi z ( ) 2( ) 2 lim 0 x yi x yi z 2 lim 0 设z z沿着平行于 x 轴的直线趋向于 z， x y o z y 0 7
lim △x+2△yi x=1, △z-→0 △x+△yi △x-→0 设z+△z沿着平行于y轴的直线趋向于z, △x+2△yi 2△yi △x=0 lim Az0△x+△yi4-0△yi △y=0 所以f(z)=x+2yi的导数 0 不存在
x y o z y 0 x yi x yi z 2 lim 0 lim 1, 0 x x x 设z z沿着平行于 y 轴的直线趋向于 z， x 0 x yi x yi z 2 lim 0 2, 2 lim 0 yi yi y 不存在 所以 的导数 . f (z) x 2 yi 8
2.求导法则： 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致，并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样，因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来，且证明方法也是相同的. 求导公式与法则： ()(c)=0,其中c为复常数. (2)(z”)=nz-1,，其中n为正整数
2.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c) 0, 其中c为复常数. (2) ( ) , . z n nz n1 其中n为正整数 9
(3)[f(z)±g(z)]=f'(z)±g'(z (4)Dag(a]=fg()+fag'(a. 同[k8-fa8gdg8.sa*0 82(z) (6) {fIg(z}=f'(w)g'(z).其中w=g(z) 其中w=f(z)与z=p(w)是 两个互为反函数的函数，且p'(w)≠0 10
(3) f (z) g(z) f (z) g(z). (4) f (z)g(z) f (z)g(z) f (z)g(z). . ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5) 2 g z g z f z g z f z g z g z f z (6) f [g(z)] f (w)g(z). w g(z) 其中 , ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) 1 (7) ( ) w w f z z w w f z 两个互为反函数的函数 且 其中 与 是 10