第三节 复变初等函数 一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数za 四、三角函数 五、双曲函数 六、反三角函数和反双曲函数
第三节 复变初等函数 一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数z a 四、三角函数 五、双曲函数 六、反三角函数和反双曲函数
一、指数函数 1.指数函数的定义： 对于复数z=x+y,称w=e=e(cosy+isin y) 为指数函数. 说明： (I)指数函数e可以用expz来表示. (2)e没有幂运算的意义
一、指数函数 1.指数函数的定义: 为指数函数. 对于复数z x iy，称w e e (cos y isin y) z x = + = = + 2 (1)指数函数 e 可以用exp z 来表示. z 说明： (2)e z 没有幂运算的意义
2.指数函数的性质 函数f(z)在复平面内满足： (1)exp z=e*,Arg(exp z)=y+2kz (其中k为任何整数) (2)在复平面上e≠0 (3)当lm(z）=0时，f(z)=e,其中x=Re(z) (4)当Re(z)=x=0时，则有e=e”"=cosy+isin y
( ) (1)| exp | ,Arg(exp ) 2 其中k为任何整数 z e z y k x = = + 2.指数函数的性质 3 (3) Im(z) 0 , f (z) e , x Re(z). x 当 = 时 = 其中 = 函数 f (z)在复平面内满足: z x e e y i y z i y (4)当Re( ) = = 0时,则有 = = cos + sin (2) 0 z 在复平面上e
例1设z=x+iy,求()e-2；(2)e；(3)Re(e)； 解因为e=e+w=e*(cosy+isiny) 所以其模e=e',实部Re(e)=e*cosy. (e-2=e-2+=e2x+i-2y,e-2=e2x; (2)e2=e*or=e-y+2w,e=e2-y; 11 (③)e2=e+i=e2+w x2+y2
例1 , (1) ; (2) ; (3)Re( ); 1 2 2 i z z z z x iy e e e − 设 = + 求 解 e e e (cos y isin y) z x iy x = = + 因为 + e e , Re(e ) e cos y. z x z x 所以其模 = 实部 = i z e 2 (1) − i 2( x iy) e − + = , 2x i(1 2 y) e− + − = ; i 2z 2 x e e − − = 2 (2) z e 2 ( x iy ) e + = , 2 2 2 x y xyi e − + = ; 2 2 2 z x y e e − = =z e1 (3) x yi e +1 , 2 2 2 2 x yy i x y x e +− + + = Re( ) cos . 2 2 1 2 2 x y y e e x y x z + = + 4
例2求出下列复数的辐角主值： ()e2+,(2)e2-3;(3)e3+;(4)e3 解 因为e=e+w=e(cosy+isiny)的辐角 Arge2=y+2kπ(k为整数) 其辐角主值arge为区间(-元，元内的一个辐角. (1)Arge2+i=1+2kn,arge2+i =1; (2)Arge2-3i=-3+2km,arge2-3=-3;
例2 解 求出下列复数的辐角主值: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 2 i 2 3i 3 4i 3 4i e e e e + − + − − 因为e e e (cos y isin y)的辐角 z x iy x = = + + Arge y 2k (k为整数) z = + 其辐角主值arg 为区间(-,]内的一个辐角. z e (1) Arg 1 2 , 2 = + + e k i arg 1; 2 = +i e (2) Arg 3 2 , 2 3 = − + − e k i arg 3; 2 3 = − − i e 5