《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 留数及其应用 5.3 留数在积分计算中的应用

第二节留数在积分计算中的应用 一形如gR(sm0,cos)d的积分 二形如R(xx的积分 三形如R(x)edx的积分

一 形如   的积分  sin ,cos d  2 0 . R( ) 二 形如 R dx的积分 + − . (x) 三 形如 R e iax d x的积分 + − . (x) 第二节留数在积分计算中的应用

积分计算方法：围道积分方法 把求实变函数定积分化为一个复变函数沿某条 封闭路线的积分，然后应用留数定理，使得沿着围线 的积分计算，归结为留数计算，也称为围道积分方法 两个重要工作： 1)被积函数的转化 2)积分区域的转化

积分计算方法 :围道积分方法 把求实变函数定积分化为一个复变函数沿某条 封闭路线的积分,然后应用留数定理,使得沿着围线 的积分计算,归结为留数计算,也称为围道积分方法. 两个重要工作: 1) 被积函数的转化 2) 积分区域的转化

一、形如Rcos,sim0)d的积分 令z=ei0-dz=ie0d0一d0= dz 8=e0-e1-1 2iz 当0历经变程[0,2m时， z沿单位圆周z=1的正方向绕行一周

i 令 z = e   d d i z = ie , d d iz z  = ( ) 2 1 sin    i i e e i − = − , 2 1 2 iz z − = ( ) 2 1 cos    i i e e − = + , 2 1 2 z z + = 当  历经变程 [0,2π] 时, z 沿单位圆周 z = 1 的正方向绕行一周. 3 一、形如   的积分  R(cos ,sin )d 2 0

R(cos0,sinθ)d0 f4-2n芝taa = k= z的有理函数，且在单 包围在单位圆周 位圆周上分母不为零， 内的诸孤立奇点。 满足留数定理的条件

(cos,sin )d 2π 0 R 2 2 1 1 1 1 , 2 2 z z z R dz z iz iz =   + − =      f z z z ( )d 1  = = z的有理函数 , 且在单 位圆周上分母不为零 , 满足留数定理的条件 . 包围在单位圆周 内的诸孤立奇点. 2π Res ( ), . 1 = = n k k i f z z 4

例1：计算1= r2π 1-2pcs0p0(p) cos20 解由于0<p<1 1-2pc0s0+p2=(1-p)2+2p(1-c0s0) 在0≤0≤2m内不为零，故积分有意义. 由于om29=e0+e0=ie2+ 1 1-2p.3+ 2 +p2

例 1： d (0 1). 1 2 cos 2π cos2 0 2   − + =  p p p I    计算 解 由于0  p  1, 1 2 cos (1 ) 2 (1 cos ) 2 2 − p  + p = − p + p −  在0    2π内不为零， 故积分有意义. ( ) 2 1 cos 2 2  2   i i e e − 由于 = + ( ), 2 1 2 −2 = z + z iz z p z z p z z I z d 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2  + + −   + = − = −  5