第五节复变函数 一、复变函数的概念 二、复变函数的极限 三、复变函数的连续性 四、小结与思考
第五节 复变函数 一、复变函数的概念 二、复变函数的极限 三、复变函数的连续性 四、小结与思考
一、复变函数的概念 1.复变函数的定义 设G是一个复数集.对于集合G中的每一个复 数z,就有一个或几个复数w=u+ⅳ与之对应，那 末称复变数w是复变数z的函数，记作w=f(z) 2.单（多）值函数的定义 如果对于每个z∈G,都有唯一的w与之对应， 则称函数f(z)是单值函数
一、复变函数的概念 , ( ). , , . w z w f z z w u iv G G = = + 末称复变数 是复变数 的函数 记作 数 就有一个或几个复数 与之对应 那 设 是一个复数集对于集合 中的每一个复 1.复变函数的定义 2 2.单(多)值函数的定义 ( ) . G, , 则称函数 是单值函数 如果对于每个 都有唯一的 与之对应 f z z w
如果z的一个值对应着两个或两个以上w的值，则 称函数f(z)是多值的 3.定义域和值域 集合G称为f(z)的定义集合（定义域）； 对应于G中所有z的一切w值所成的集合G* 称为函数值集合（值域）
( ) . , 称函数 是多值的 如果 的一个值对应着两个或两个以上 的值 则 f z z w 3.定义域和值域 集合G称为 f (z)的定义集合(定义域); 称为函数值集合(值域). 对应于 G 中所有 z的一切 w值所成的集合G* , 3
4.反函数 设函数w=f(z)定义在E上，值域为G若对于G中的 任一点w,在E中存在一个或几个z与之对应，则在G 上确定了一个单值或多值函数，记为z=f-(w),称 为函数w=f(z)的反函数 说明： 1.单值函数的反函数不一定是单值函数 2.如果函数w=f(z)和它的反函数z=f-(w)都是单 值的，则称函数w=f(z)是一一对应的（双方单值）
4. 反函数 为函数 的反函数 上确定了一个单值或多值函数 记为 称 任一点 在 中存在一个或几个 与之对应 则在 设函数 定义在 上 值域为 若对于 中的 ( ) , ( ), , , ( ) , . 1 w f z z f w w E z G w f z E G G = = = − 说明: 1.单值函数的反函数不一定是单值函数. , ( ) ( ). 2. ( ) ( ) 1 值的 则称函数 是一一对应的 双方单值 如果函数 和它的反函数 都是单 w f z w f z z f w = = = −
5.复变函数与二元实函数之间的关系 复变函数w与自变量z之间的关系w=f(z)可以写成 下列形式， w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数， u=u(x,y),v=v(x,y), w=f(z)的性质就取决于一对二元实函数u(x,y), (x,y)的性质
5. 复变函数与二元实函数之间的关系 下列形式， 复变函数 w与自变量z 之间的关系w = f (z)可以写成 u = u(x, y), v = v(x, y), 它们确定了自变量为x和 y的两个二元实变函数. 的性质. 的性质就取决于一对二元实函数 ( , ) ( ) ( , ), v x y w = f z u x y w = f (z) = u(x, y) + i v(x, y) 5