§4.2方差 契比雪夫不等式的变形 PIX-ke≥1-g 2 该不等式给出了随机变量X分布未知的情况下事 件概率的下限的估计，具有普适性。如取ε=3o, 有PX-4k3o}≥1 9a二0.8889，这一结果具 有普遍意义的3σ准则，可以与正态分布的3σ准 则比较一下， 3叉PIX-uK4o≥1- 16o2≤0.9375 tfx) 概率值近1 H-E u+e x12/62
§4.2 方差 契比雪夫不等式的变形 该不等式给出了随机变量X分布未知的情况下事 件概率的下限的估计，具有普适性。如取ε＝3σ， 有 ，这一结果具 有普遍意义的3σ准则，可以与正态分布的3σ准 则比较一下， 又 概率值近1 x f(x) μ-ε μ μ+ε 2 2 {| | } 1 P X 0.8889 9 {| | 3 } 1 2 2 P X 0.9375 16 {| | 4 } 1 2 2 P X 12/62
§4.2方差 9儿种重要分布的数学期望和方差 (一)0一1)分布 X0 Pk1一卫P EX)=0X(1-p)+1Xp=卫 EX2)=02×(1-p)+12p=p D(X)=EX2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p) 13/62
§4.2 方差 几种重要分布的数学期望和方差 (一) (0－1)分布 X 0 1 pk 1－p p E(X)＝0×(1－p)+1×p＝p E(X2 )＝0 2×(1－p)+12×p＝p D(X)＝E(X2 )－[E(X)]2=p－p 2=p(1－p) 13/62
§4.2方差 （二)二项分布X~b(np) 分布律为P{X=k=Cpq"-k,k=0,1,n,(q=1一p) (①)直接法：组合拆分 X)=2Cpg,而kC=nCA 所以E=0+∑nCpg”-=p2Cp“g"=p(p+q)1=p k=1 k=1 EQ)-Ecip 而《k2C=kk-1)C+kC骑=nn-I)C子+nC EX)=∑nn-l0C-p'q-t+∑nCpg"- k=ln mn-Dpc =n(n-1)p年p D(X)=EX2)-[EX)2=n(n-1)p2+np-(p)2=p(1-p) 14/62
§4.2 方差 (二) 二项分布 X～b(n,p) 分布律为P{X=k}＝ p kq n－k ，k＝0，1，.，n，(q＝1－p) (i)直接法：组合拆分 E(X)＝ ，而 ＝ 所以E(X)＝ ＝ ＝ ＝np E(X2 )＝ ， 而 ＝ ＋ ＝ ＋ E(X2 )＝ ＝ ＝n(n－1)p 2+np D(X)＝E(X2 )－[E(X)]2＝n(n－1)p 2+np－(np) 2=np(1－p) k Cn n k k k n k kCn p q 0 k kCn 1 1 k nCn n k k k n k nCn p q 1 1 0 1 n k k k n k np Cn p q 1 1 1 1 1 ( ) n np p q n k k k n k k Cn p q 0 2 k Cn k 2 k Cn k(k 1) k n kC 2 2 ( 1) k n n Cn 1 1 k nCn n k k k n k n n k k k n k n n Cn p q nC p q 1 1 1 2 2 2 ( 1) n k k k n k n n k k k n k n n p Cn p q np C p q 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( 1) 14/62
§4.2方差 9()间接法：随机变量分解（变量拆分） 随机变量X表示n重伯努利实验中n次相互独立的重复实验 中事件A发生的次数，引入n个随机变量Xi,i=1,2,., 共中，心=心在济实数中事不发里 于是有X=X1+X2十.+Xm 0 1 且由题设易知X服从同一(0一1)分布 Pr1-p p X可以分解为个参数为p的(0一1)分布的独立同分布的变 量之和 由X的独立性，及数学期望和方差的性质易得 9EX)=EX1+X2+.+Xn)=EX1)+EX2)+.+EXm)=p DX)=D(X1+X2+.+X)=DX1)+DX2)+.+DXn)=p(1-p) 15/62
§4.2 方差 (ii)间接法：随机变量分解(变量拆分) 随机变量X表示n重伯努利实验中n次相互独立的重复实验 中事件A发生的次数，引入n个随机变量Xi，i＝1， 2，.， 其中，Xi＝ ， 于是有X＝X1＋X2＋.＋Xn Xi 0 1 且由题设易知Xi服从同一(0－1)分布 pk 1－p p X可以分解为n个参数为p的(0－1)分布的独立同分布的变 量之和 由Xi的独立性，及数学期望和方差的性质易得 E(X)＝E(X1＋X2＋.＋Xn )＝E(X1 )＋E(X2 )＋.＋E(Xn )＝np D(X)＝D(X1＋X2＋.＋Xn )＝D(X1 )＋D(X2 )＋.＋D(Xn )＝np(1－p) ，在 第 次实验中事件 不发生 在 第 次实验中事件 发 生 i A i A 0 1, 15/62
§4.2方差 (三)泊松分布X~π(2)，（期望等于方差） B0=2k2。 0+e k=0 k! 台(k-1) eea=习 EK3-2。 00 +容 =2kk-12e k! k=0 k! k=0 =2。+1=2+2 =2(k-2)! D(X)=EX2)-[EX)12=22+1-22=入 16/62
§4.2 方差 (三) 泊松分布X～π(λ)，（期望等于方差） E(X)＝ = = =λ E(X2 )＝ ＝ ＋ ＝ ＋λ＝λ 2＋λ D(X)＝E(X2 )－[E(X)]2＝λ 2＋λ－λ 2＝λ ! 0 k e k k k 1 1 ( 1)! 0 k k k e e e ! 0 2 k e k k k ! ( 1) 0 k e k k k k ! 0 k e k k k 2 2 2 ( 2)! k k k e 16/62