第四章随机变量的数字特征 9§4.1数学期望 9§4.2方差 9§4.3协方差及相关系数 §4.4矩、协方差矩阵 2162
第四章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 §4.2 方差 §4.3 协方差及相关系数 §4.4 矩、协方差矩阵 2/62
§4.2方差 方差主要考虑的是随机变量的取值与其均值偏离程度 。例如：电子器件的热噪声，其产生的噪声电压的均值可能为0，但 是噪声电压的大小可能很不一样，从而对信号处理的影响也不一 样，噪声的功率也不同，因此我们常常关心噪声电压与均值电压 的偏离程度， 设噪声电压为X,均值为EX),则偏离程度Y很容易用二 者之差来描述，即Y=X一EX)儿 。而我们通常考察平均偏离程度，即考察EX一EX)} 。由于该式中含有绝对值，运算不方便，通常用下式来描 述X与均值的偏离程度[X一X]2 A一 3/62
§4.2 方差 方差主要考虑的是随机变量的取值与其均值偏离程度 例如：电子器件的热噪声，其产生的噪声电压的均值可能为0，但 是噪声电压的大小可能很不一样，从而对信号处理的影响也不一 样，噪声的功率也不同，因此我们常常关心噪声电压与均值电压 的偏离程度， 设噪声电压为X，均值为E(X)，则偏离程度Y很容易用二 者之差来描述，即 Y＝|X－E(X)| 而我们通常考察平均偏离程度，即考察 E{|X－E(X)|} 由于该式中含有绝对值，运算不方便，通常用下式来描 述X与均值的偏离程度 E{[X－E(X)]2} 3/62
§4.2方差 。定义设X是一个随机变量，若EX一EX)存在，则称 EX-EX)2为X的方差，记为D(X)或Var(X),Variance 即 D(X)=Var(X)=EX-E(X)2 应用上还引入与随机变量X具有相同量纲的量D(),记 为σ(X),称为标准差或均方差 9方差的含义： 由定义可知，方差表达了随机变量X取值与其数学期望的 偏离程度，并表达了以E(X)为X的代表性的好坏 ●如果X取值比较集中，则偏离程度小，DX)也较小， E(X)的代表性好 。如果X取值比较分散，则偏离程度大，D()也较大 ●所以说DX是描述X分散程度的量 4/62
§4.2 方差 定义 设X是一个随机变量，若E{[X－E(X)]2 }存在，则称 E{[X－E(X)]2 }为X的方差，记为D(X)或Var(X)，Variance 即 D(X)＝Var(X)＝E{[X－E(X)]2 } 应用上还引入与随机变量X具有相同量纲的量 ，记 为σ(X)，称为标准差或均方差 方差的含义： 由定义可知，方差表达了随机变量X取值与其数学期望的 偏离程度，并表达了以E(X)为X的代表性的好坏 如果X取值比较集中，则偏离程度小，D(X)也较小， E(X) 的代表性好 如果X取值比较分散，则偏离程度大，D(X)也较大 所以说D(X)是描述X分散程度的量 D(X) 4/62
§4.2方差 方差的计算方法：(1)利用定义 由定义，方差实际上是X的函数gX)=X一E(X)]2 的数学期望 对于离散型随机变量X: D(X)=Eig(X)=>g(x)P=Ix-E(X)FD k 其中，X的分布律为PX=x}=Pk,k=1,2,· 。对于连续型随机变量X: D(X)=Eig(X))=g(x)f(x)d=(x-E(x))'f(x)de 其中fx)是X的概率密度 5/62
§4.2 方差 方差的计算方法：(1)利用定义 由定义，方差实际上是X的函数g(X)=[X－E(X)]2 的数学期望 对于离散型随机变量X： D(X)＝E{g(X)}＝ ＝ ， 其中，X的分布律为P{X=xk }＝pk，k＝1,2,. 对于连续型随机变量X: D(X)＝E{g(X)}＝ ＝ 其中f(x)是X的概率密度 1 ( ) k g xk pk 1 2 [ ( )] k xk E X pk g(x) f (x)dx (x E(x)) f (x)dx 2 5/62
§4.2方差 方差的计算方法：(2)利用方差恒等式 DX)=EX2)-[EX)]2; 。更重要的是EX)=DX)+[EX)]2 证：由数学期望的性质 D(X)=E{[X-EX)]2=E{X2-2XE(X)+[EX)]2Y =E{X23-2EX)EX)+[EX)]2=EX2)-[EX)]2 这样，求解方差时，除定义式外，可直接利用以上公式 ●首先计算EX), ·然后计算E(X), 。最后计算DX)=EX)-EX)2 6/62
§4.2 方差 方差的计算方法：(2)利用方差恒等式 D(X)＝E(X2 )－[E(X)]2； 更重要的是E(X2 )＝D(X)＋[E(X)]2 证：由数学期望的性质 D(X)＝E{[X－E(X)]2 }＝E{X2－2XE(X)+[E(X)]2 } ＝E{X2 }－2E(X)E(X)+[E(X)]2＝E(X2 )－[E(X)]2 这样，求解方差时，除定义式外，可直接利用以上公式 首先计算E(X)， 然后计算E(X2 )， 最后计算D(X)＝E(X2 )－[E(X)]2 6/62