第四章随机变量的数字特征 9§4.1数学期望 9§4.2方差 §4.3协方差及相关系数 §4.4矩、协方差矩阵 2134
第四章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 §4.2 方差 §4.3 协方差及相关系数 §4.4 矩、协方差矩阵 2/34
§4.1数学期望 ⊙概率分布虽然能够完整的描述随机变量的统计特征，但有 时对于我们关心的问题而言却不直观。如： ·研究水稻品种时，常关注的是稻穗的平均稻谷粒数，这从稻谷粒数 的分布函数是不能直接看出来的，而且在实际生产中可能只关心该 平均值，甚至不关心分布函数。 。一篮球队上场比赛的运动员身高是一随机变量，常关心平均身高 ●1 研究信道上的随机噪声时，出于热噪声功率对系统可能产生较大影 响的考虑，对噪声的均值很关心，而且还关心噪声电压的大小与噪 声电压的均值的偏离程度。这两个量在实际系统中往往比知道随机 变量的分布更重要 9本章重点讨论数学期望，方差，相关系数，矩等 3/34
§4.1 数学期望 概率分布虽然能够完整的描述随机变量的统计特征，但有 时对于我们关心的问题而言却不直观。如： 研究水稻品种时，常关注的是稻穗的平均稻谷粒数，这从稻谷粒数 的分布函数是不能直接看出来的，而且在实际生产中可能只关心该 平均值，甚至不关心分布函数。 一篮球队上场比赛的运动员身高是一随机变量，常关心平均身高 研究信道上的随机噪声时，出于热噪声功率对系统可能产生较大影 响的考虑，对噪声的均值很关心，而且还关心噪声电压的大小与噪 声电压的均值的偏离程度。这两个量在实际系统中往往比知道随机 变量的分布更重要 本章重点讨论数学期望，方差，相关系数，矩等 3/34
§4.1数学期望 实例：一射手进行打靶练习，规定 ●打中区域e得0分 eo S ei 。打中区域e得1分 。打中区域e,得2分 以X记每次射击得分数，则X的分布律如下： X012 Pk Po P1 P2 4/34
§4.1 数学期望 实例：一射手进行打靶练习，规定 打中区域e0得0分 打中区域e1得1分 打中区域e2得2分 以X记每次射击得分数，则X的分布律如下： X 0 1 2 pk p0 p1 p2 e2 e1 e0 4/34
§4.1数学期望 考察每次射击的平均得分数？ ●射击N次，其中得0分有a次，得1分有a1次，得2分有2次 即N=,+1+2 ●射击N次得分总和为aX0+a1×1+2×2 。每次射击平均分数为a,×0+4×1+4×2小-立4只， 这是有限次实验的算术平均值，其中、是事件P区=的 频率。 9 当Nn时，无限的接近一个稳定的常数k,即事件PX=码 发生的概率 。也就是说，当N∞时，算术平均值k→立仰一个稳定的 常数值，就把该值称为随机变量X的薮学期望或均值 Expectation 5/34
§4.1 数学期望 考察每次射击的平均得分数？ 射击N次，其中得0分有a0次，得1分有a1次，得2分有a2次 即N＝a0＋a1＋a2 射击N次得分总和为a0×0＋a1×1＋a2×2 ∴每次射击平均分数为(a0×0＋a1×1＋a2×2)/N= ， 这是有限次实验的算术平均值，其中 是事件P{X=k}的 频率。 当N→∞时， 无限的接近一个稳定的常数pk，即事件P{X=k} 发生的概率 也就是说，当N→∞时，算术平均值 → 一个稳定的 常数值，就把该值称为随机变量X的数学期望或均值 Expectation 2 k 0 k N a k N ak N ak 2 k 0 k N a k 2 k 0 kpk 5/34
§4.1数学期望 定义设离散型随机变量X的分布律为 P{X=x=Pk,k=1,2,. 若级数∑P绝对收敛，则称级数∑xP:的和为随机变 量X的数学期望，记为E(X), 即EX)=∑xP 。设连续型随机变量X的概率密度为f),若积分xf(x)s 绝对收敛，则称积分f(x)的值为随机变量X的数学 期望，记为E(X), 即EX)=广xf(x)d 6/34
§4.1 数学期望 定义 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk }＝pk，k＝1,2,. 若级数 绝对收敛，则称级数 的和为随机变 量X的数学期望，记为E(X)， 即E(X)＝ 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 绝对收敛，则称积分 的值为随机变量X的数学 期望，记为E(X)， 即E(X)＝ k1 xk pk k1 xk pk k1 k pk x xf (x)dx xf (x)dx xf (x)dx 6/34