第二章随机变量及其分布 9§2.1随机变量 。§2.2离散型随机变量及其概率分布 9§2.3随机变量的分布函数 。§2.4连续型随机变量及其概率密度 9§2.5随机变量的函数的分布 2/35
第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其概率密度 §2.5 随机变量的函数的分布 2/35
§2.5随机变量的函数的分布 9实际应用中，某些人们关心的随机变量Y往往不 能直接测量得到，而它可能是某个能测量的随机 变量的函数X 。比如我们有时很关心圆柱轴截面的面积S,但无法直接 获得，而我们能够获得圆柱轴截面的直径D，而随机变 量S是随机变量D的函数，即S=(1/4)πD2 。问题： 。怎样由已知的随机变量X的概率分布求它的函数Y=g(X) 的概率分布，其中g(·)是连续函数？ 一般的步骤是什么？ 3/35
§2.5 随机变量的函数的分布 实际应用中，某些人们关心的随机变量Y往往不 能直接测量得到，而它可能是某个能测量的随机 变量的函数X 比如我们有时很关心圆柱轴截面的面积S，但无法直接 获得，而我们能够获得圆柱轴截面的直径D，而随机变 量S是随机变量D的函数，即S=(1/4)πD2 问题： 怎样由已知的随机变量X的概率分布求它的函数Y=g(X) 的概率分布，其中g(•)是连续函数? 一般的步骤是什么？ 3/35
§2.5随机变量的函数的分布 例1：设随机变量X具有以下的分布律，试求Y=X一1)的分布律 ● X-1012 Pk0.20.30.10.4 解：首先获得Y的所有可能取值：0,1,4 。求解各取值的概率 。P{Y=0}=P{X-1)2=0}=PX=1}=0.1 。PY=1=P{X-1)2=1}=P{X=0}+PX=2=0.7 ●PY=4=P{X-1)2=4}=P{X=-1}=0.2 。即得Y的分布律为 ● Y014 Pk0.10.70.2 。对于离散型随机变量 ●PY=y}等于所有满足yk=g(X)的X的取值的概率之和 4/35
§2.5 随机变量的函数的分布 例1：设随机变量X具有以下的分布律，试求Y=(X－1)2的分布律 X －1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4 解：首先获得Y的所有可能取值：0，1，4 求解各取值的概率 P{Y=0}＝P{(X－1)2=0}= P{X=1}=0.1 P{Y=1}＝P{(X－1)2=1}= P{(X=0}+P{X=2}=0.7 P{Y=4}＝P{(X－1)2=4}= P{(X=－1}=0.2 即得Y的分布律为 Y 0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2 对于离散型随机变量 P{Y=yk }等于所有满足yk＝g(X)的X的取值的概率之和 4/35
§2.5随机变量的函数的分布 9例2：设随机变量X具有概率密度fx(x)= x/8,0<x<4 0,其它 。求随机变量Y=2X+8的概率密度 解：分别记X,Y的分布函数为Fxx),Fy),先求Y的分布函数Fy) Fy)=PYSY) ∥由分布函数的含义 ● 将Y=2X+8代入 =P2X+8≤y} ●表示为关于X的概率=PX≤(y一8)/2} 。即 =F(y-8)/2) 。将Fy)关于y求导得 ●fy)=dFy)1=dFx(Gy-8)/2)1dy=fx(G0y-8)/2)d0y-8)/2)1y =J(1/8)0y-8)/2]1/2),0<y-8)12<4 0, 其它 y-8)/32,8<y<16 =10,其它 ●注意：代入时，f的自变量及分段函数取值范围用g-(y)来代 5/35
§2.5 随机变量的函数的分布 例2：设随机变量X具有概率密度 求随机变量Y=2X+8的概率密度 解：分别记X,Y的分布函数为FX (x)，FY (y)，先求Y的分布函数FY (y) FY (y)＝P{Yy} //由分布函数的含义 将Y=2X+8代入 ＝P{2X＋8y} 表示为关于X的概率 ＝P{X(y－8)/2} 即 ＝FX ((y－8)/2) 将FY (y)关于y求导得 fY (y)=dFY (y)/dy=dFX ((y－8)/2)/dy = fX ((y－8)/2)d((y－8)/2)/dy = = 注意：代入时， fX的自变量及分段函数取值范围用g－1 (y)来代 0, 其它 / 8, 0 4 ( ) x x f X x 0, 其它 (1/ 8)[( y 8)/ 2](1/ 2), 0 ( y 8)/ 2 4 0, 其它 ( y 8)/ 32, 8 y 16 5/35
§2.5随机变量的函数的分布 求连续型随机变量X的函数Y=gX)的概率密度的一般步骤： 9已知fxx),Y=gX),求fy) ●1°先写出Y的分布函数定义式：Fy)=P{Y以 由Y=g(X)确定Y的值域，当y不在值域范围内时单独讨论fOy) ●2°将Y=gX)代入上式 =P{g(X)}/在y的值域范围内讨论 ·3°由g(X)y求解X的范围 =PXIg(X)}表示为y的形式 。4°由X的分布函数Fc)表示以上概率，得到关于y的表达式Fy), 其中Fc)的自变量x用关于y的表达式来代。 。5°求导得fy)=dFy)/d,将fy)的所有可能的情况合并 。掌握变上下限积分求导公式 6/35
§2.5 随机变量的函数的分布 求连续型随机变量X的函数Y=g(X)的概率密度的一般步骤： 已知fX (x)，Y=g(X)，求fY (y) 1°先写出Y的分布函数定义式：FY (y)＝P{Yy} 由Y=g(X)确定Y的值域，当y不在值域范围内时单独讨论 fY (y) 2°将Y=g(X)代入上式 ＝P{g(X)y} //在y的值域范围内讨论 3°由g(X)y求解X的范围 ＝P{X|g(X)y} 表示为y的形式 4°由X的分布函数FX (x)表示以上概率，得到关于y的表达式FY (y)， 其中FX (x)的自变量x用关于y的表达式来代。 5°求导得fY (y)＝dFY (y)/dy，将fY (y)的所有可能的情况合并 掌握变上下限积分求导公式 6/35