第二章随机变量及其分布 6§2.1随机变量 。§2.2离散型随机变量及其概率分布 9§2.3随机变量的分布函数 9§2.4连续型随机变量及其概室密度 §2.5随机变量的函数的分布 2142
第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其概率密度 §2.5 随机变量的函数的分布 2/42
§2.4连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量及概率密度定义： 。如果对于随机变量X的分布函数Fx),存在非负可积函 数x),使对于任意实数x有 F)=[f(dr 则称X为连续型随机变量，其中函数x)称为X的概率密 度函数，简称概率密度 。※由数学分析的知识，连续型随机 儿种提法： 变量的分布函数是连续函数 X的概率分布： 是指分布函数 ·必在实际应用中遇到的基本上是 X为连续型时： 离散和连续型随机变量 是指概率密度 X为离散型时： 是指分布律
§2.4 连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量及概率密度 定义： 如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函 数f(x)，使对于任意实数x有 F(x)＝ 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密 度函数，简称概率密度 ※由数学分析的知识，连续型随机 变量的分布函数是连续函数 ※在实际应用中遇到的基本上是 离散和连续型随机变量 x f t dt － ( ) 几种提法： X的概率分布： 是指分布函数 X为连续型时： 是指概率密度 X为离散型时： 是指分布律
§2.4连续型随机变量及其概率密度 9概率密度函数的性质： 。1°非负性：fx)≥0.由定义可知 。2°规范性：f(x)d=F(o)=1 曲线y=x)与Ox轴之间的面积等于1 ●3°对任意实数x1,x2≤2)，有Px<X≤2}=Fc2)一Fc1) f(x)ds ·概率Px<X≤x2}等于区间c12l上曲线y=x)之下曲边梯形的面积 ●4°若fx)在点x处连续，则有Fx)=fx) Ax) ·比右连续强，一般的是右连续) X1 X2
§2.4 连续型随机变量及其概率密度 概率密度函数的性质： 1º 非负性：f(x)0. 由定义可知 2º 规范性： 曲线y＝f(x)与Ox轴之间的面积等于1 3º 对任意实数x1，x2 (x1x2 )，有P{x1<X≤x2 }＝F(x2 )－F(x1 ) ＝ 概率P{x1<X≤x2 }等于区间(x1 ,x2 ]上曲线y＝f(x)之下曲边梯形的面积 4º 若f(x)在点x处连续，则有F(x)=f(x) 比右连续强，一般的是右连续） f (x)dx F() 1 1 O x f(x) 1 O x f(x) x1 x2 2 1 ( ) x x f x dx
§2.4连续型随机变量及其概率密度 pa)一维随机变量的概率密度的线密度含义： 由连续性定义，在连续点处有 F(x+△x)-F(x) P{x<X<x+△ ●fx)=lim =lim △r→0+ △x △x0+ △x 。这正好与物理学中的线密度的定义类似：随机点落在单 位区间上概率的大小 ·当△x充分小时，点x处的曲边梯形可近似为长△x高fx) 的矩形。 即Px<X≤x+△x}≈fx)△x,随机变量X落在c,x+△x 的概率近似等于x)△x,忽略了高阶无穷小。 5
§2.4 连续型随机变量及其概率密度 a) 一维随机变量的概率密度的线密度含义： 由连续性定义，在连续点x处有 f(x)＝ ＝ 这正好与物理学中的线密度的定义类似：随机点落在单 位区间上概率的大小 当∆x充分小时，点x处的曲边梯形可近似为长∆x高f(x) 的矩形。 即P{x<X≤x＋∆x }≈f(x)∆x，随机变量X落在(x，x＋∆x] 的概率近似等于f(x)∆x，忽略了高阶无穷小。 x F x x F x x ( ) ( ) lim 0 x P x X x x x { } lim 0 5
§2.4连续型随机变量及其概率密度 9b)对于连续型随机变量，单点概率为0 ·即若X为连续型随机变量，对任意的实数a,有PX=u}=0 p证：显然有包含关系{X=c{a一△r<X≤M} o.'.0sP{X=a}≤P{a一△x<X≤M}=F(a一F(a-△x) ● 而Fx)是连续的（也满足左连续），因为连续型随机变量的分布函 数是连续的 。∴.当△x→0时有0≤P{X=sIim(F(a-△)-F(a)=F(a)-F(a)=0 1 。即P{X=}=0 P(A)=0不能→A=Φ 要注意几点： P(A)=1不能→A=S 。1°只有当X为连续型时，才一定有P{公==0，则不一定 ● 2°尽管P=}=0,但{X=}不是不可能事件 3°连续型随机变量中区间的端点不影响概率值，即对以下概率 不加区分P{<X≤b}=P{asX≤b}=P{sX<b}=P{a<X<b} 6
§2.4 连续型随机变量及其概率密度 b) 对于连续型随机变量，单点概率为0 即若X为连续型随机变量，对任意的实数a，有P{X=a }=0 证：显然有包含关系{X=a}{a－∆x<X≤a } ∴0≤P{X=a }≤P{a－∆x<X≤a }=F(a)－F(a－∆x) 而F(x)是连续的（也满足左连续），因为连续型随机变量的分布函 数是连续的 ∴当∆x→0时有0P{X=a}≤ 即P{X=a}＝0 要注意几点： 1°只有当X为连续型时，才一定有P{X=a}＝0，否则不一定 2°尽管P{X=a}＝0，但{X=a }不是不可能事件 3°连续型随机变量中区间的端点不影响概率值，即对以下概率 不加区分 P{a<X≤b}＝P{a≤X≤b}＝P{a≤X<b}＝P{a<X<b} lim( ( ) ( )) ( ) ( ) 0 0 F a x F a F a F a x 6 P(A)=0不能 A=Φ P(A)=1不能 A=S