第一章概率论的基本概念 §1.1随机试验 9§1.2样本空间、随机事件 9§1.3频率与概率 9§1.4等可能概型（古典概型) 9§1.5条件概率 9§1.6独立性 2/16
第一章 概率论的基本概念 §1.1 随机试验 §1.2 样本空间、随机事件 §1.3 频率与概率 §1.4 等可能概型（古典概型） §1.5 条件概率 §1.6 独立性 2/16
§1.4等可能概型（古典概型) 9先看两个试验： 。抛一枚硬币，观察其H,T出现的情况；S={H,T} ·抛一枚骰子，观察其出现的点数；S={1,2,3,4,5,6} 9这些试验有两个明显特点： (1)S中的元素只有有限个； (2)试验中每个基本事件发生的可能性相同。 9这样的试验大量存在，称为等可能概型 。由于它是概率论发展初期的研究对象，又叫古典概型。 3/16
§1.4 等可能概型（古典概型） 先看两个试验： 抛一枚硬币，观察其H，T出现的情况；S={H，T} 抛一枚骰子，观察其出现的点数；S＝{1，2，3，4，5，6} 这些试验有两个明显特点： （1）S中的元素只有有限个； （2）试验中每个基本事件发生的可能性相同。 这样的试验大量存在，称为等可能概型 由于它是概率论发展初期的研究对象，又叫古典概型。 3/16
§1.4等可能概型（古典概型) 古典概型试验中事件发生的概率计算公式： 设试验E的样本空间为S={e1,e2,e},由于每个基本事件 发生的可能性相同，即有 oP({e1})=P({e2)=.=P{en) 。又由于基本事件是两两不相容的 ●所以1=PS)=P({e}U{e2}U.U{e)=nP({e),i=1,2,n 。即P({e)=1/n,i=1,2,n 若事件A包含k个基本事件，即A={}UeU.U{e,i1, 2,是1到n中某k个不同的数，则有 P利一空P,训=香=神春的鞋本华件等 i=1 ,S中包含的基本事件数 4/16
§1.4 等可能概型（古典概型） 古典概型试验中事件发生的概率计算公式： 设试验E的样本空间为S＝{e1 ,e2 ,.,en }，由于每个基本事件 发生的可能性相同，即有 P({e1 })＝P({e2 })＝.＝P({en }) 又由于基本事件是两两不相容的 所以1＝P(S)＝P({e1 }∪{e2 }∪.∪{en })=nP({ei })，i＝1,2,.,n 即P({ei })=1/n , i＝1,2,.,n 若事件A包含k个基本事件，即A={ }∪{ }∪.∪{ }，i1， i2，.，ik是1到n中某k个不同的数，则有 P(A)＝ ＝ ＝ 1 i e 2 i e k i e k j i j P e 1 ({ }) n k 中包含的基本事件数 中包含的基本事件数 S A 4/16
§1.4等可能概型（古典概型) 。例1.古典概型的一般问题 。一枚硬币抛三次 (①)设事件A1:恰有一次出现正面，求P(A) (设事件A2:至少有一次出现正面，求P(A2) 9解：首先正确给出样本空间 1.等可能概 S=(HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT} 型的判断可 (①事件A1={HTT,THT,TTH} 根据对称性 来考虑一般 。分析：S中只有有限个元素，由对称性可知 的排列组合 ·每个基本事件发生的可能性相同一一等可能概型 问题都是古 ●∴.P(A)=3/8 典概型 2.对于“至 ()先看A2的逆事件A,={TTT} 少”通常 。P(42)=1-P(A)=1-1/8=7/8 先考察其逆 事件 5/16
§1.4 等可能概型（古典概型） 例1．古典概型的一般问题 一枚硬币抛三次 (i) 设事件A1：恰有一次出现正面，求P(A1 ) (ii)设事件A2：至少有一次出现正面，求P(A2 ) 解：首先正确给出样本空间 S={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT} (i) 事件A1={HTT，THT，TTH } 分析：S中只有有限个元素，由对称性可知 每个基本事件发生的可能性相同――等可能概型 ∴P(A1 )＝3/8 (ii)先看A2的逆事件 ={TTT} P(A2 )＝1－P( )＝1－1/8＝7/8 A2 A2 1.等可能概 型的判断可 根据对称性 来考虑一般 的排列组合 问题都是古 典概型 2.对于“至 少.”通常 先考察其逆 事件 5/16
§1.4等可能概型（古典概型) 例2：放回抽样与不放回抽样 分析：依次从袋中取两球，每一取 一只口袋有6只球：4只白的，2只红的。从袋中取 法为一个基本事件。又样本空间中 球两次，每次随机取一只，考虑两种取球方式： 的元素有限，由对称性每个基本事 件发生的可能性相同：等可能概型 ·放回抽样：第一次取一只球，观察颜色后放回袋 中，搅匀后再取一只 ①计算S中元素的个数：第一次6球， 第二次6球，由组合乘法原理， 不放回抽样：第一次取一只球不放回袋中，第二 次从剩余球中再取一只 。共有6×6=36种 。分别就以上两种方式求： ②A：两次都有4只白球可取，共有 。(取到的两只球都是白球的概率； 4×4=16种 。(取到的两只球颜色相同的概率； ③B:两次都有2只红球可取，共有 2×2=4种 ●（取到的两只球中至少有一只是白球的概率。 9.由古典概型公式： 分数不可随 解：(a)放回抽样的情况 意化成小数， 。P(A)=1636=4/9 。启示：恰当的利用事件间的关系可以简化求解 除非有保留 。PB)=4/36=1/9 精度 ●设事件A:取到的两只都是白球；事件B:取到的 两只都是红球；事件C:至少一白 ·PAUB)=PA)+PB)=4/9+1/9=5/9 。则()相当于求P(A);()P(AUB)=P(A)+PB); ●PC)=PB)=1-PB)=1-1/9=8/9 (iii)P(C)=P(B)=1-P(B) (b)不放回抽样的情况 。所以只要求出事件A和事件B的概率就行了 。S:6×5=30,A:4×3=12,B: 2×1=2具体步骤（略）6/16
§1.4 等可能概型（古典概型） 例2：放回抽样与不放回抽样 一只口袋有6只球：4只白的，2只红的。从袋中取 球两次，每次随机取一只，考虑两种取球方式： 放回抽样：第一次取一只球，观察颜色后放回袋 中，搅匀后再取一只 不放回抽样：第一次取一只球不放回袋中，第二 次从剩余球中再取一只 分别就以上两种方式求： (i)取到的两只球都是白球的概率； (ii)取到的两只球颜色相同的概率； (iii)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。 解：(a)放回抽样的情况 启示：恰当的利用事件间的关系可以简化求解 设事件A：取到的两只都是白球; 事件B：取到的 两只都是红球; 事件C：至少一白 则 (i) 相当于求P(A)；(ii) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； (iii) P(C)＝P( )=1－P(B) 所以只要求出事件A和事件B的概率就行了 分析：依次从袋中取两球，每一取 法为一个基本事件。又样本空间中 的元素有限，由对称性每个基本事 件发生的可能性相同：等可能概型 ①计算S中元素的个数：第一次6球， 第二次6球，由组合乘法原理， 共有6×6＝36种 ②A：两次都有4只白球可取，共有 4×4＝16种 ③B：两次都有2只红球可取，共有 2×2＝4种 ∴由古典概型公式： P(A)＝16/36=4/9 P(B)＝4/36=1/9 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)=4/9+1/9=5/9 P(C)＝P( )=1－P(B)=1－1/9=8/9 (b)不放回抽样的情况 S：6×5＝30，A: 4×3＝12，B： 2×1＝2 具体步骤（略） 分数不可随 意化成小数， 除非有保留 精度 B B 6/16