第一章概率论的基本概念 §1.1随机试验 9§1.2样本空间、随机事件 9§1.3频率与概率 §1.4等可能概型（古典概型) 9§1.5条件概率 9§1.6独立性 2/21
第一章 概率论的基本概念 §1.1 随机试验 §1.2 样本空间、随机事件 §1.3 频率与概率 §1.4 等可能概型（古典概型） §1.5 条件概率 §1.6 独立性 2/21
§1.5条件概率 ⊙（二）乘法定理（条件概率的推论） 乘法定理：设PA)>0,则有PAB)=PA)P(B4) P推广到三个事件的情况：设有A,B,C三个事件，且P(AB)>0,于是： P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB) ●注意：如果P(AB)>0,则必有P(A)>0及P(B)>0 。推广到更多个的情况 0 设A,A2,.,An为n个事件，n22,且P4A2A.-i)P0,则有 P(A42.A)=P(AA2.AP(A42.A).P(A2AP(A1) ⊙乘法定理解决积事件的概率问题，可借助排列组合中的乘法定理来理 解概率中的乘法定理 。乘法定理主要解决那些一项任务分多个步骤的情况，把每个步骤的概 率相乘就得到完成该事件的概率 3/21
§1.5 条件概率 (二) 乘法定理 （条件概率的推论） 乘法定理：设P(A)>0，则有P(AB)=P(A)P(B|A) 推广到三个事件的情况：设有A,B,C三个事件，且P(AB)>0，于是： P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 注意：如果P(AB)>0，则必有P(A)>0及P(B)>0 推广到更多个的情况 设A1 , A2 , . , An为n个事件，n2，且P(A1A2.An－1 )>0，则有 P(A1A2.An )＝P(An |A1A2.An-1 )P(An-1 |A1A2.An-2 ).P(A2 |A1 )P(A1 ) 乘法定理解决积事件的概率问题，可借助排列组合中的乘法定理来理 解概率中的乘法定理 乘法定理主要解决那些一项任务分多个步骤的情况，把每个步骤的概 率相乘就得到完成该事件的概率 3/21
§1.5条件概率 例3：袋中装有只红球、只白球，每次从袋中任取一只观察颜色后放 回，再放入只与所取球同色的球。若连续取球四次，求第一、二次 取到红球且第三、四次取到白球的概率 °解：设A1,A2,A3)A4分别为每次取到红球的事件 。取球时：有次序，放回抽样，有添加 则要求的概率是一个积事件的概率P(AA2AA4) 。而依据取球的顺序及有添加的情况，按乘法公式从A开始展开 ●P(AA2AA4)=PA1)PA2A)P(AIA,A,P(A4|AA2A） 。=”xr+ax t t+a r+t r+t+a r+t+2a r+t+3a 。显然，按以上展开顺序，每一个条件概率均可容易求出 4/21
§1.5 条件概率 例3：袋中装有r只红球、t只白球，每次从袋中任取一只观察颜色后放 回，再放入a只与所取球同色的球。若连续取球四次，求第一、二次 取到红球且第三、四次取到白球的概率 解：设A1 , A2 , A3 , A4分别为每次取到红球的事件 取球时：有次序，放回抽样，有添加 则要求的概率是一个积事件的概率P( ) 而依据取球的顺序及有添加的情况，按乘法公式从A1开始展开 P( )＝P(A1 )P(A2 |A1 )P( )P( ) ＝ 显然，按以上展开顺序，每一个条件概率均可容易求出 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 3 1 2 A | A A 4 1 2 3 A | A A A r t a t a r t a t r t a r a r t r 2 3 4/21
§1.5条件概率 例4：设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为12，若 第一次落下未打破而第二次落下打破的概率为710，若前两次落下未打 破而第三次落下打破的概率为/10，试求透镜三次落下而未打破的概率 。解：首先分析一下所求的问题 。设事件A:第一次落下打破； 事件B：第二次落下打破； 事件C:第三次落下打破。 。则所求的概率为P(ABC) ●题设条件为P(A)=1/2,P(B|A)=7/10,P(C|AB)=9/10 用乘法定理P(ABC)=P(A)P(B|A)P(CIAB) ● =(1-P(A)1-P(B|A1-P(C|AB) ● =3/200 也可以先求D=AUABUABC由于这三次打破是两两互不相容的 事件，因此根据有限可加性P(D)=P(A)+P(AB)+P(ABC)进而 由乘法定理展开可得结果 5/21
例4：设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若 第一次落下未打破而第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打 破而第三次落下打破的概率为9/10，试求透镜三次落下而未打破的概率 解：首先分析一下所求的问题 设 事件A：第一次落下打破； 事件B：第二次落下打破； 事件C：第三次落下打破。 则所求的概率为P( ) 题设条件为P(A)＝1/2，P( )＝7/10，P( )＝9/10 用乘法定理 =3/200 也可以先求 由于这三次打破是两两互不相容的 事件，因此根据有限可加性 进而 由乘法定理展开可得结果 §1.5 条件概率 ABC B | A C | AB P(ABC) P(A)P(B | A)P(C | AB) (1 P(A)(1 P(B| A)(1 P(C | AB)) D A AB ABC P(D) P(A) P(AB) P(ABC) 5/21
§1.5条件概率 (三)全概率公式和贝叶斯公式 ()全概率公式： 对应排列组合中的加法，完成一项任务有多种可能的并行情况，这些情况的数目的 和就是完成该任务的所有可能情况 。对样本空间适当分解的思想，有利于解决稍微复杂一点的概率问题 首先看一下关于划分的概念 P定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,.,B为E的一组事件。若 (0BBΦ，为i,i,j=1,2, (ii)BUB2 U.UB=S 则称B1,B2,.,B为S的一个划分。 ※每次试脸，事件B1,B2,B.中有且仅有一个发生 S 例：S={1,2,3,4,5,6}则划分正确的是 BI 。B1={1,2,3}B2={4,5}B3={6} ●B1={1,2,3}B2=3,4}B3={5,6} B2
§1.5 条件概率 (三) 全概率公式和贝叶斯公式 (1) 全概率公式： 对应排列组合中的加法，完成一项任务有多种可能的并行情况，这些情况的数目的 和就是完成该任务的所有可能情况 对样本空间适当分解的思想，有利于解决稍微复杂一点的概率问题 首先看一下关于划分的概念 定义：设S为试验E的样本空间，B1，B2，.，Bn为E的一组事件。若 (i) BiBj=Φ，i≠j，i，j＝1，2，.，n； (ii) B1∪B2∪.∪Bn=S 则称B1，B2，.，Bn为S的一个划分。 ※每次试验，事件B1，B2，.，Bn中有且仅有一个发生 例：S={1，2，3，4，5，6}则划分正确的是 B1＝{1，2，3} B2＝{4，5} B3＝{6} √ B1＝{1，2，3} B2＝{3，4} B3＝{5，6} B1 B2 Bn S . 6/21