第六章二次型 一.二次型及其矩阵 二.二次型的标准化 三.正定二次型 四.二次型的最大值和最小值
三. 正定二次型 四. 二次型的最大值和最小值 一. 二次型及其矩阵 二. 二次型的标准化 第六章 二次型
第一节.二次型及其矩阵 1.二次型、二次型的矩阵、二次型的秩 定义1：含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次多项式 f(x1,x2,.,xn) =411x+24121X2+2a13X1x3+.+2a1nx1Xm +a2+2a23X2x3+.+2a2mX2xn +an-nx21+20nnxn-1心n +amx好 称为二次型。（1)
第一节. 二次型及其矩阵 1. 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩 称为二次型。（1） 1 2 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 1, 1 1 1, 1 ( , , , ) 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x − − − − − = + + + + + + + + + + + 2 nn n + a x 定义1：含有 n 个变量 x x x 1 2 , , , n 的二次齐次多项式
实二次型：为实数。（我们仅讨论实二次型） 复二次型：为复数。 例如：f(K,y)=x2+4xy+5y2 f(x,y,z)=2x2+y2+xz+yz 都是二次型。 f(x1,x2,X3,x4)=x1x2+x23+x2x4 氏，)=+十5不是次型 f(x,y)=2x2-y2+2x
实二次型： aij 为实数。（我们仅讨论实二次型） 复二次型： aij 为复数。 例如： 2 2 f x y x xy y ( , ) 4 5 = + + 2 2 f x y z x y xz yz ( , , ) 2 = + + + 1 2 3 4 1 2 2 3 2 4 f x x x x x x x x x x ( , , , ) = + + 都是二次型。 2 2 f x y x y ( , ) 5 = + + 2 2 f x y x y x ( , ) 2 2 = − + 不是二次型
只含有平方项的二次型f=ky+k2Jy好+.+kJy 称为二次型的标准形（或法式) 例如：f(x,x2,x3)=2x+4x号+5x号-4x f(x1,x2,x3)=x1K2+x3+x2x3 都为二次型； f(x,x2,x3)=+4x+4x号 为二次型的标准形
只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）。 例如： ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为二次型的标准形。 ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x
取4=为 则2ag,火j=axx;+anX:Xj 则(1)式可以表示为 f=a1子+412x2+.+41nxxn +021X2X1+022X2+.+42mX2m 十 二次型用和号表示 apa =x1(a1X1+412X2++41mn) +x2(0211+a22X2+.+a2mxn） 十. +x(anx+anx2++amxn)
2 2 11 12 2 1 1 2 1 21 1 22 2 1 1 2 2 2 2 1 2 n n n n n n nn n n n f a a x a x a x a x x a x x x x a a a x x x x x = + + + x + + + + + + + + + ij ji 取 a a = 2 ij i j ij i j ji i j 则 a x x a x x a x x = + 则（1）式可以表示为 1 11 1 12 2 1 ( ) n n = + + + x a x a x x a 2 21 1 22 2 2 ( ) n n + + + + x a x a x x a + 1 1 2 2 ( ) n n n nn n + + + + x a x a x a x , 1 n ij i j i j a x x = = 二次型用和号表示