§4.2方差 9随机变量的标准化： 。设随机变量X具有数学期望EX)=4,方差D(X)=o≠0， 记X*=(X一0)/， 。则EX*)=EX一M)/o=(E(X)一)/G=0 D(X*)=EX*2)-[E(X*)]2=E(M(X-m)/o]2)-0 =(1/σ2)E(X-02) =(1/c2)c2=1 9所以X*的数学期望0，方差1，X*称为X的标准化 变量 7162
§4.2 方差 随机变量的标准化： 设随机变量X具有数学期望E(X)=μ，方差D(X)＝σ 2≠0， 记X*＝(X－μ)/σ， 则E(X*)=E(X－μ)/σ＝(E(X)－μ)/σ＝0 D(X*)＝E(X*2 )－[E(X*)]2＝E([(X－μ)/σ] 2 )－0 ＝(1/σ 2 )E((X－μ) 2 ) ＝(1/σ 2 )σ 2＝1 所以X*的数学期望0，方差1，X*称为X的标准化 变量 7/62
§4.2方差 方差的性质 1°设C是常数，则有D(C)=0. 证明D(C)=E(C2)-E(C)]2=C2-C2=0. 2°设X是一个随机变量，C是常数，则有 D(CX)=C'D(X). 证明D(CX)=EICX-E(CX)} =C2EX-E( =C2D(X), 8/62
证明 2 2 D(C) E(C ) [E(C)] 方差的性质 1°设 C 是常数, 则有 D(C) 0. 2 2 C C 0. 2°设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 ( ) ( ). 2 D CX C D X 证明 D(CX) {[ ( )] } 2 2 C E X E X ( ). 2 C D X {[ ( )] } 2 E CX E CX §4.2 方差 8/62
§4.2方差 。3°设X,Y是两个随机变量，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y), 特别的，若X,Y相互独立，则有 DX+Y)=D(X)+D(Y), 这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。 D(X+Y=EX+Y-E(X+Y)2=EX-EX)+(Y-E(Y)2 =EX-EX)+EY-EY+2EX-EX)JY-EY)D =D(X)+D(Y)+2E(X-E(X)JY-E(Y) EX-E(X)Y-E(Y=EXY-XE(Y-YE(X)+E(X)E(Y) =E(XY-E(X)E(Y-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY-E(X)E(Y) 当X,Y相互独立时，由数学期望的性质有EXY)=EX)E(Y),从而有 9/62 D(X+Y)=D(X)+D(Y)
§4.2 方差 3°设X,Y是两个随机变量，则有 D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}， 特别的，若X,Y相互独立，则有 D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)， 这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。 证：D(X＋Y)＝E{[(X＋Y)－E(X+Y)]2 }= E{[(X－E(X))＋(Y－E(Y))]2 } ＝E{[X－E(X)]2 }＋E{[Y－E(Y)]2 }＋2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]} ＝D(X)＋D(Y)＋2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]} 又E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}＝E{XY－XE(Y)－YE(X)＋E(X)E(Y)} ＝E(XY)－E(X)E(Y)－E(Y)E(X)＋E(X)E(Y) ＝E(XY)－E(X)E(Y) 当X,Y相互独立时，由数学期望的性质有E(XY)＝E(X)E(Y)，从而有 D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y) 9/62
§4.2方差 推广若X1,X2,.,Xn相互独立，则有 D(aX±a2X2±·±anXn) =aD(X )+aD(X2)+.+arD(X) 4°D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数 C,即P{X=C}=1. “以概率1”的含义：对于连续型随机变量，如果存在 一些孤立的点其随机变量的取值不为常数，那么不影响 结论，这和独立性中几乎处处成立有点类似 所以在这一前提下，X不一定等于C 另外，不难证明有如下不等式成立 若C≠E(X),则D(X)<E(X-C)2 10/62
推广 ( ) ( ) ( ). ( ) 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 n n n n a D X a D X a D X D a X a X a X 若 X1 ,X2 , ,Xn 相互独立,则有 即 的充要条件是 以概率 取常数 , 4 ( ) 0 1 C D X X P{X C} 1. 2 若C E(X),则D(X) E(X C) “以概率1”的含义：对于连续型随机变量，如果存在 一些孤立的点其随机变量的取值不为常数，那么不影响 结论，这和独立性中几乎处处成立有点类似 所以在这一前提下，X不一定等于C 另外，不难证明有如下不等式成立 §4.2 方差 10/62
§4.2方差 契比雪夫(Chebyshev)不等式 ⊙定理设随机变量X具有数学期望EX)=,方差 D(X)=2,则对于任意正数，以下不等式成立 PIX-4≥}≤ 82 ●契比雪夫不等式是一个重要的理论工具，应用极为普遍， 很多重要结论都来自于该不等式，对于任意的数学期望 和方差都存在的随机变量都成立 合证：PIX-e-.uw到。h S-a=g 11/62
§4.2 方差 契比雪夫(Chebyshev)不等式 定理 设随机变量X具有数学期望E(X)=μ，方差 D(X)=σ 2，则对于任意正数ε，以下不等式成立 契比雪夫不等式是一个重要的理论工具，应用极为普遍， 很多重要结论都来自于该不等式，对于任意的数学期望 和方差都存在的随机变量都成立 证： 2 2 {| | } P X | | 2 2 | | ( ) | | {| | } ( ) x x f x dx x P X f x dx 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x f x dx 11/62