因此得到 e"=r,y=0+2kπ k=0,±1，±2，. 从而得到 u=lnr,y=0+2kπk=0,±1，±2，. 因此 w Lnz In+irgz 7≠0 说明： (I)由于Argz为多值函数，所以对数函数w=Lnz 也是多值函数，并且每两值相差2π的整数倍
, 2π . (1) Arg , 也是多值函数 并且每两值相差 的整数倍 由于 为多值函数 所以对数函数 L i z w = nz 因此得到e r v k u = , = + 2 k = 0,1,2, 从而得到u = ln r, v = + 2k k = 0,1,2, 因此 w= Lnz = ln z +iArgz z 0 11 说明:
(2)如果将Lnz=nz+iArgz中Argz取主值argz, 那末Lnz为一单值函数，记为nz,称为Lnz的主值 Inz In+iargz. 其余各值为Lnz=lnz+2kπi(k=±1，±2，)， 对于每一个固定的k,上式确定一个单值函数， 称为Lnz的一个分支. (3)特别的，当z=x>0时，Lnz的主值nz=nx, 是实变数对数函数
(2)如果将Lnz = ln z +iArgz中Argz 取主值arg z, 那末Lnz为一单值函数，记为ln z，称为Lnz的主值. ln z = ln z + i arg z. 其余各值为 Lnz = ln z + 2ki (k = 1,2, ), Ln . , , 称为 的一个分支 对于每一个固定的 上式确定一个单值函数 z k . (3) , 0 , Ln ln ln , 是实变数对数函数 特别的 当 z = x 时 z的主值 z = x 12
(4)复对数函数是实对数函数在复数域中的推广. (⑤)在实数域中，"负数无对数"，这个结论在复 数中不再成立并且在复数中，只有零没有对数。 例4求Ln2,Ln(-1)以及与它们相应的主值. 解 因为Ln2=ln2+2kri, 所以Ln2的主值就是ln2. 因为Ln(-1)=ln1+iArg(-1) =(2k+1)i(k为整数) 所以Ln(-1)的主值就是πi
例4 解 求 Ln2, Ln(−1)以及与它们相应的主值. 因为 Ln2 = ln2 + 2ki, 所以Ln2的主值就是 ln2. 因为 Ln(−1) = ln1+ iArg(−1) = (2k + 1)i (k为整数) 所以Ln(−1)的主值就是 i. 13 数中不再成立并且在复数中，只有零没有对数。 在实数域中 负数无对数 这个结论在复 . (5) ," ", (4)复对数函数是实对数函数在复数域中的推广
例5解方程e-1-3i=0. 解 因为e=1+W3i, 所以z=Ln(1+3i) =l+3+i行+2m） =n2+ig+2 (k=0,±1，±2，)
解例 5 e −1− 3i = 0. 解方程 z e 1 3i, z 因为 = + 所以 z = Ln(1 + 3i) + = + i + i 2 k 3 ln1 3 + = + i 2 k 3 ln 2 (k = 0, 1, 2,) 14