无穷远处的极限arur定义设函数f(x)在(一o0,一a)U(a,+o)上定义，若存在实数A,对>0，=X>0，使得当Ix>X时，有If(x)-Al<ε,则称当x趋于无穷大时，函数f(x)的极限是A，或f(x)收敛于A，记为 limf(x) = A 或f(x) → A(x → ) 或f() = A。x-oyty=f(x)若定义域为(a,+)，而条件lxl>X改为x>X，A+8则可定义当x趋于正无穷大时，函数f(x)的极限，AA-8记为 lim f(x) =f(+oo) = A。x→+oXx类似，也可定义 lim f(x) =f(-oo)= A。正无穷大时的函数极限X-13
13 无穷远处的极限 � � � � = � � � � + � � − � 定义 设函数 � � 在 −∞, − � ∪ �, + ∞ 上定义，若存在实数 �， 对 ∀ � > �，∃ � > �，使得当 � > � 时，有 � � − � < �， 则称当 � 趋于无穷大时，函数 � � 的极限是 �，或 � � 收敛于�， 记为 𝐥� �→∞ � � = � 或 � � → � � → ∞ 或 � ∞ = �。 若定义域为 �, + ∞ ，而条件 � > � 改为 � > �， 记为 𝐥� �→+∞ � � = � +∞ = �。 类似，也可定义 𝐥� �→−∞ � � = � −∞ = �。 则可定义当 � 趋于正无穷大时，函数 � � 的极限， 正无穷大时的函数极限
无穷远处的极限例证明: lim ax =0(0<a<1); lim ax = 0(a>1)。x-→+80x→0证明: lim sin三= 0。例xx-814
14 无穷远处的极限 例 证明： 𝐥� �→+∞ � � = � � < � < � ； 𝐥� �→−∞ � � = � � > � 。 例 证明：𝐥� �→∞ 𝐥� � � = �
无穷小与无穷大T类似数列的极限，函数的极限也可定义无穷小与无穷大。定义若limf(x)=0，则称函数f(x)在x→a时是无穷小,x-a记为f(x) = o(1) (x → a)。若G>0,日>0，使得当0<Ix-al<时，有If(x)l>G,则称函数f(x)在x一a时是无穷大。类似，可定义正无穷大，负无穷大。10。定理 若f(x)± 0，则 limf(x)= 80 一lim二x-af(x)x-a15
15 无穷小与无穷大 定义 若 𝐥� �→� � � = �，则称函数 � � 在 � → � 时是无穷小， 记为 � � = � � � → � 。 类似数列的极限，函数的极限也可定义无穷小与无穷大。 若 ∀ � > �，∃ � > �，使得当 � < � − � < � 时，有 � � > �， 则称函数 � � 在 � → � 时是无穷大。 类似，可定义正无穷大，负无穷大。 定理 若 � � ≠ �，则 𝐥� �→� � � = ∞ ⟺𝐥� �→� � � � = �
无穷小与无穷大注无穷小与无穷大同样可以定义在左、右极限处，无穷远处，正、负无穷远处，例在x=0的邻域内讨论函数f(x)=ex。16
16 无穷小与无穷大 注 无穷小与无穷大同样可以定义在左、右极限处， 无穷远处，正、负无穷远处， 例 在 � = � 的邻域内讨论函数 � � = � � �
海涅定理定理函数极限limf(x) = A 的充分必要条件是：x-a对任一满足 lim xn =a 且 xn ≠ a 的数列 (xn), 均有 limf(xn) = A。n-n-o证一：由极限limf(x)=A定义,x-aV>0,8>0,当0<Ix-αl<8时,If(x)-A|<ε,再由limxn=a，且xn±a知n-8对上述8,日N>0，当n>N时，0<xn一a|<,所以, If(xn) -Al<ε。17
17 海涅定理 定理 函数极限 𝐥� �→� � � = � 的充分必要条件是： 对任一满足 𝐥� �→∞ �� = � 且 �� ≠ � 的数列 �� ，均有 𝐥� �→∞ � �� = �。 证 ⟹：由极限 𝐥� �→� � � = � 定义， 再由 𝐥� �→∞ �� = �，且 �� ≠ � 知 所以， � �� − � < �。 ∀ � > �，∃ � > �，当 � < � − � < � 时， � � − � < �， 对上述 �，∃ � > �，当 � > � 时，� < �� − � < �