目录微分方程的概念一阶微分方程可降阶高阶微分方程线性微分方程常系数线性微分方程微分方程数值解微分方程应用举例
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人口模型S人口模型提出假设：人口增长量与总量成正比。（马尔萨斯）建立模型：设任意时刻t的人口数量为P(t)，dp则=rP（马尔萨斯方程）。dt yttP(t。)=Ce求通解: P(t) = Cert。建立模型：调查得to时刻人口为Po，则P(to)=Po。求特解: P(t) = Poe-rtoert = Poer(t-to)。（复杂模型可通过数值计算求数值解）
3 人口模型 建立模型：调查得 �� 时刻人口为 ��，则 � �� = ��。 人口模型 提出假设：人口增长量与总量成正比。（马尔萨斯） 求通解：� � = �� �� 。 建立模型：设任意时刻 � 的人口数量为 � � ， 则 �� �� = ��（马尔萨斯方程）。 求特解：� � = ��� −���� �� = ��� � �− �� 。 （复杂模型可通过数值计算求数值解）
人口模型mu人口模型模型分析：人口指数级增长，在人口总量较小时，较为符合数据，模型对其它生物模型也适用，如细菌培养等，但当总量达到一定程度后，数据不符。模型改进：人口增长受资源约束，产生负增长率，假设人口减少量与人口总量的平方成正比。则些=TP-βP (还释斯谛方程)。可进一步求解该模型并于实际数据进行比较分析
4 人口模型 人口模型 模型分析：人口指数级增长，在人口总量较小时，较为符合数据， 模型对其它生物模型也适用，如细菌培养等， 但当总量达到一定程度后，数据不符。 模型改进：人口增长受资源约束，产生负增长率， 则 �� �� = �� − �� �（逻辑斯谛方程）。 可进一步求解该模型并于实际数据进行比较分析。 假设人口减少量与人口总量的平方成正比
微分方程基本概念mT含有未知函数及其导数的方程，称为微分方程，若未知函数是一元函数，称常微分方程。未知函数的导数的最高阶数，称为方程的阶数，方程的一般形式：F(x,y,y,yn))=0，为n阶常微分方程。满足方程的函数y中(x)称为方程的解，带相互独立的任意常数（个数等于方程阶数）的解称方程的通解，具体问题的特定的解称为特解。求解特解，除方程外还需其它一些条件，称定解条件，常微分方程配上相应的定解条件，称为定解问题
5 微分方程基本概念 含有未知函数及其导数的方程，称为微分方程， 若未知函数是一元函数，称常微分方程。 未知函数的导数的最高阶数，称为方程的阶数， 方程的一般形式：� �, �, � ′ , ⋯, � � = �，为 � 阶常微分方程。 满足方程的函数 � = � � 称为方程的解， 具体问题的特定的解称为特解。 求解特解，除方程外还需其它一些条件，称定解条件， 带相互独立的任意常数（个数等于方程阶数）的解称方程的通解， 常微分方程配上相应的定解条件，称为定解问题
人口模型S一人口增长模型提出假设：人口增长量与总量成正比。（马尔萨斯）建立模型：设任意时刻t的人口数量为P(t)，ap则一阶常微分方程=rP（马尔萨斯方程）。dt求通解： P(t) =Cert。方程通解定解条件建立模型：若to时刻人口为 Po，则 P(to)=Po。求特解: P(t) = Poe-rtoert = Poer(t-to)。方程特解方程十定解条件二定解问题（复杂模型可通过数值计算求数值解）
6 人口模型 建立模型：若 �� 时刻人口为 ��，则 � �� = ��。 人口增长模型 提出假设：人口增长量与总量成正比。（马尔萨斯） 求通解：� � = �� �� 。 建立模型：设任意时刻 � 的人口数量为 � � ， 则 �� �� = ��（马尔萨斯方程）。 求特解：� � = ��� −���� �� = ��� � �− �� 。 （复杂模型可通过数值计算求数值解） 一阶常微分方程 方程通解 方程特解 定解条件 方程+定解条件=定解问题