目录数列的极限性质与运算存在判别法函数的极限函数的连续性闭区间上连续函数6
2 目录 5 函数的连续性
连续m定义设函数f(）在xo的邻域内有定义，若 lim f(αx) =f(xo),x→xo则称函数f(x）在xo处连续，称xo是f(x）的连续点；否则称函数f(x）在xo处间断，称xo是f(x）的间断点即,>0,日>0,当 lx-xol<时,有 If(x)-f(xo)l<ε。记△x=x-xo，△f=f(x)一f(xo)，为自变量与函数值的增量,则连续也可表示为limf(xo+△x)=f(xo）或limAf=0。4x-0Ax-0
3 连续 定义 设函数 � � 在 �� 的邻域内有定义， 若 𝐥� �→�� � � = � �� ， 则称函数 � � 在 �� 处连续，称 �� 是 � � 的连续点； 否则称函数 � � 在 �� 处间断，称 �� 是 � � 的间断点。 即，∀ � > �，∃ � > �，当 � − �� < � 时，有 � � − � �� < �。 记 �� = � − ��，�� = � � − � �� ，为自变量与函数值的增量， 则连续也可表示为 𝐥� ��→� � �� + �� = � �� 或 𝐥� ��→� �� = �
连续定义若函数f在开区间I上点点连续，则称f是I上的连续函数，记为f E C(I)。定理若函数f(x)在区间I上连续，则If(x)l也在区间I上连续。证记y= If(x)l，对Vxo E I,0 ≤ IAyl = lf(xo + Ax)I - If(xo)l ≤ If(xo + Ax) - f(xo)I = Af ;由 lim Af = 0 知, lim Ay = 0。4x-→04x→01, x≥0,反之，有反例f(x)=11.x<0
4 连续 定理 若函数 � � 在区间 � 上连续，则 � � 也在区间 � 上连续。 定义 若函数 � 在开区间 � 上点点连续，则称 � 是 � 上的连续函数， 记为 � ∈ � � 。 证 记 � = � � ，对 ∀ �� ∈ �， � ≤ �� = � �� + �� − � �� ≤ � �� + �� − � �� = ��， 由 𝐥� ��→� �� = � 知， 𝐥� ��→� �� = �。 反之，有反例 � � = �, � ≥ �, −�, � < �
连续例已已证 limex =exo,xo ER, limlnx =lnxo,xo ER+,x→xox→xo所以，指数函数 ex E C(-00,+ 0)，对数函数lnx E C(O,+ 0)。例已证limsinx二0，证明：正弦函数sinx在R上连续。x-0类似有：余弦函数cosx在R上连续
5 连续 例 已证 𝐥� �→�� � � = � �� , �� ∈ �，𝐥� �→�� 𝐥� = 𝐥��, �� ∈ � + ， 所以，指数函数 � � ∈ � −∞, + ∞ ，对数函数 𝐥� ∈ � �, + ∞ 。 例 已证 𝐥� �→� 𝐥�� = �，证明：正弦函数 𝐥�� 在 � 上连续。 类似有：余弦函数 𝐜�� 在 � 上连续
连续函数运算Tu由极限的运算法则，可以得到定理若函数f和g在点xo处连续，则函数f±g,cf，f·g，(分母不为0)在点xo处均连续。定理若函数g在点xo处连续，而f在uo=g(xo）处连续，则复合函数f。g在点xo处连续。对连续函数的反函数，有定理若函数f在区间「上连续且严格单调增加（减少），则反函数f-1在区间R(f）上也连续且严格单调增加（减少）
6 连续函数运算 定理 若函数 � 和 � 在点 �� 处连续， 由极限的运算法则，可以得到 则函数 � ± �, ��, � ⋅ �, � � 分母不为0 在点 �� 处均连续。 定理 若函数 � 在点 �� 处连续，而 � 在 �� = � �� 处连续， 则复合函数 � ∘ � 在点 �� 处连续。 定理 若函数 � 在区间 � 上连续且严格单调增加（减少）， 则反函数 � −� 在区间 � � 上也连续且严格单调增加（减少）。 对连续函数的反函数，有