目录微分中值定理洛必达法则泰勒公式及应用利用导数研究函数性态平面曲线的曲率5方程的近似解6
2 目录 4 利用导数研究函数性态
函数的单调性aul定理设函数f(x) E C[a,blnD(a,b)，则 f(x)在[a,bl 上单调增加 (减少)VxE(a,b), f'(x)≥0 (≤0) 。证 一: 设函数f(x) 在[a,b] 上单调增加,f(x+h)-f(x)对 Vx, x+ h E (a,b),≥0,hf(x+h)-f(α) >由极限保号性，f(x)=lim≥0。hh-0 : 若VxE(a,b),f'(x)≥0 (≤0) ,则 V x1, X2 E [a,b], X1 < x2,由中值定理有f(x2)一f(x) =f'()(x2 一x1),E (x1,x2),所以函数f(x）在a，b上单调增加
3 函数的单调性 定理 设函数 � � ∈ � �, � ∩ � �, � ，则 � � 在 �, � 上单调增加（减 少） 证 ⟹：设函数 � � 在 �, � 上单调增加， ⟺ ∀ � ∈ �, � ，�′ � ≥ �（≤ �）。 对 ∀ �, � + � ∈ �, � ， � �+� −� � � ≥ �， 由极限保号性，� ′ � = lim �→� � �+� −� � � ≥ �。 ⟸ ：若 ∀ � ∈ �, � ，�′ � ≥ �（≤ �）, 则 ∀ ��, �� ∈ �, � ，�� < ��， 由中值定理有 � �� − � �� = � ′ � �� − �� ，� ∈ ��, �� ， 所以函数 � � 在 �, � 上单调增加
函数的单调性定理设函数f(x) E C[a,b] n D(a,b),则f(x)在[a,b]上严格单调增加（减少)一VxE(a,b),f'(x)≥0 (≤0) ，且任意子区间上f'(x)丰0。证一：仅证任意子区间上f'(x)丰0,反证法，设某区间上f(x）=0，则f(x）为常值，矛盾！一：仅证单调增加是严格的，反证法，若日x1, x2 E[a,b]，f(x1)=f(x2);由单调性，f(x）在区间[x1,x2上为常值函数，f'(x)=0，矛盾！
4 函数的单调性 定理 设函数 � � ∈ � �, � ∩ � �, � ， 证 ⟹：仅证任意子区间上 � ′ � ≢ �， ⟺ ∀ � ∈ �, � ，�′ � ≥ �（≤ �），且任意子区间上 � ′ � ≢ �。 则 � � 在 �, � 上严格单调增加（减少） 反证法，设某区间上 � ′ � = �，则 � � 为常值，矛盾！ ⟸：仅证单调增加是严格的， 反证法，若 ∃ ��, �� ∈ �, � ，� �� = � �� ， 由单调性，� � 在区间 ��, �� 上为常值函数，� ′ � = �，矛盾！
函数的单调性注设函数f(x)在区间I上可导，且除有限个点外满足f'(x)>0,则f(x)在区间I上严格单调增加。例求函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间
5 函数的单调性 注 设函数 � � 在区间 � 上可导，且除有限个点外满足 � ′ � > �， 则 � � 在区间 � 上严格单调增加。 例 求函数 � � = �� � − �� � + ��� − � 的单调区间
函数的单调性例求函数f(x) =x3(x - 5) 的单调区间
6 函数的单调性 例 求函数 � � = � 2 3 � − � 的单调区间