第二章矩阵及其运算1.已知线性变换：r1= 2y1 + 2y2 + y3,2=3yi+92+5y3r3=3y1+2y2+3y3,求从变量1,F2,3到变量1,92,y3的线性变换，解：方法一.用消元法解方程，得出91，y2，93.略.方法二，解矩阵方程.由已知：)-(0)92故1563.T2192QQ2342即1 = 71 42 + 93,y2 = 6±1 + 32 - 73,3 = 31 + 2r2- 4r3.方法三，用克拉默法则解方程.系数矩阵221001D:3-915-2c3C2-323-433所以,121151.21571-4T2+9r3;22yi =T3D23135323同理得2=61+32-7393=31+22-432.已知两个线性变换T1=2y1+93,91 = 3z1 + 22,2 = -2y1 + 3y2 + 2y3,y2 = 2z1 + 23,93=-22+323,3=4y1+92+5y3求从21，22，23到1，2，3的线性变换解：方法一，直接代入：比如：1 = 2y1 + y3= 2(321 + 22) + ( 22 + 323)= -621 + 22 +323-17
第二章 矩阵及其运算 1 . 已知线性变换: x1 = 2y1 + 2y2 + y3, x2 = 3y1 + y2 + 5y3, x3 = 3y1 + 2y2 + 3y3, 求从变量 x1, x2, x3 到变量 y1, y2, y3 的线性变换. 解: 方法一. 用消元法解方程, 得出 y1, y2, y3. 略. 方法二. 解矩阵方程. 由已知: x1 x2 x3 = 2 2 1 3 1 5 3 2 3 y1 y2 y2 , 故 y1 y2 y2 = 2 2 1 3 1 5 3 2 3 −1 x1 x2 x3 = −7 −4 9 6 3 −7 3 2 −4 y1 y2 y3 . 即 y1 = −7x1 − 4x2 + 9x3, y2 = 6x1 + 3x2 − 7x3, y3 = 3x1 + 2x2 − 4x3. 方法三. 用克拉默法则解方程. 系数矩阵 D = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 2 1 3 1 5 3 2 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c1−2c3 ====== c2−2c3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 1 −7 −9 5 −3 −4 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 1. 所以, y1 = 1 D ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x1 2 1 x2 1 5 x3 2 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = x1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 5 2 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − x2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 2 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + x3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 1 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −7x1 − 4x2 + 9x3 ; 同理得 y2 = 6x1 + 3x2 − 7x3, y3 = 3x1 + 2x2 − 4x3. 2 . 已知两个线性变换 x1 = 2y1 + y3, x2 = −2y1 + 3y2 + 2y3, x3 = 4y1 + y2 + 5y3, y1 = −3z1 + z2, y2 = 2z1 + z3, y3 = −z2 + 3z3, 求从 z1, z2, z3 到 x1, x2, x3 的线性变换. 解: 方法一. 直接代入. 比如: x1 = 2y1 + y3 = 2(−3z1 + z2) + (−z2 + 3z3) = −6z1 + z2 + 3z3. 17
18第二章矩阵及其运算方法简单，但我们应尽可能使用本章学习的矩阵知识方法二，由己知所以,1-612-1016即-6z1+22+3z3,T2=1221 422+ 923,=10z1-z2+16z3.3.设A-1U求3AB-2A及ATB解：3AB-2A3儿ATB(4.计算下列乘积：3N(1)3(2) (1, 2, 3)23(-1, 2);m
18 第二章 矩阵及其运算 方法简单, 但我们应尽可能使用本章学习的矩阵知识. 方法二. 由已知 x1 x2 x3 = 2 0 1 −2 3 2 4 1 5 y1 y2 y2 , y1 y2 y2 = −3 1 0 2 0 1 0 −1 3 z1 z2 z3 . 所以, x1 x2 x3 = 2 0 1 −2 3 2 4 1 5 y1 y2 y2 = 2 0 1 −2 3 2 4 1 5 −3 1 0 2 0 1 0 −1 3 z1 z2 z3 = −6 1 3 12 −4 9 −10 −1 16 z1 z2 z3 . 即 x1 = −6z1 + z2 + 3z3, x2 = 12z1 − 4z2 + 9z3, x3 = −10z1 − z2 + 16z3. 3 . 设 A = 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 , B = 1 2 3 −1 −2 4 0 5 1 , 求 3AB − 2A 及 ATB. 解: 3AB − 2A = 3 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 2 3 −1 −2 4 0 5 1 − 2 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 = 3 0 5 8 0 −5 6 2 9 0 − 2 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 = −2 13 22 −2 −17 20 4 29 −2 . ATB = 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 2 3 −1 −2 4 0 5 1 = 0 5 8 0 −5 6 2 9 0 . 4 . 计算下列乘积: (1) 4 3 1 1 −2 3 5 7 0 7 2 1 ; (2) (1, 2, 3) 3 2 1 ; (3) 2 1 3 (−1, 2);
线性代数（同济四版）习题参考答案19(5)(1,T2,3)a1:(6)000-34×7+3×2+1×143解: (1)1×7+(-2)×2+3×55×7+7×2+0×173(2) (1, 2, 3)= (1 × 3+2 × 2+3 ×1) = (10) = 102 ×(-1)2×23(-1, 2) =1 × (-1)1×23×23 × (-1)2-112-320-51(5)a11(1,2,33)a12022α1300=(a11+122+13312+a22+23313+232+3)13=1+a22+a33+201212+2a133+2a232365.设AB13(I)AB=BA吗?(2)(A+B)?=A2+2AB+B2吗?(3) (A + B)(A -B)= A2 - B2 吗?解：(1)因为BA=AB:3.8
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 19 (4) Ã 2 1 4 0 1 −1 3 4 ! 1 3 1 0 −1 2 1 −3 1 4 0 −2 ; (5) (x1, x2, x3) a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33 x1 x2 x3 ; (6) 1 2 1 0 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0 0 3 1 0 3 1 0 1 2 −1 0 0 −2 3 0 0 0 −3 . 解: (1) 4 3 1 1 −2 3 5 7 0 7 2 1 = 4 × 7 + 3 × 2 + 1 × 1 1 × 7 + (−2) × 2 + 3 × 1 5 × 7 + 7 × 2 + 0 × 1 = 35 6 49 . (2) (1, 2, 3) 3 2 1 = (1 × 3 + 2 × 2 + 3 × 1) = (10) = 10. (3) 2 1 3 (−1, 2) = 2 × (−1) 2 × 2 1 × (−1) 1 × 2 3 × (−1) 3 × 2 = −2 4 −1 2 −3 6 . (4) Ã 2 1 4 0 1 −1 3 4 ! 1 3 1 0 −1 2 1 −3 1 4 0 −2 = Ã 6 −7 8 20 −5 −6 ! . (5) (x1, x2, x3) a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33 x1 x2 x3 = (a11x1 + a12x2 + a13x3, a12x1 + a22x2 + a23x3, a13x1 + a23x2 + a33x3) x1 x2 x3 =a11x 2 1 + a22x 2 2 + a33x 2 3 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3. (6) 1 2 1 0 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0 0 3 1 0 3 1 0 1 2 −1 0 0 −2 3 0 0 0 −3 = 1 2 5 2 0 1 2 −4 0 0 −4 3 0 0 0 −9 . 5 . 设 A = Ã 1 2 1 3 ! , B = Ã 1 0 1 2 ! , 问: (1) AB = BA 吗? (2) (A + B) 2 = A2 + 2AB + B2 吗? (3) (A + B)(A − B) = A2 − B2 吗? 解: (1) 因为 AB = Ã 3 4 4 6 ! , BA = Ã 1 2 3 8 !
20第二章矩阵及其运算所以，AB+BA(2)因为(4+Bp-(22)(63)-(h%)但(1)+(8 2)+(39)-(18 2%)A?+2AB+B2=故(A+B)?+A2+2AB+B(3)因为(4+B)4-B)-(23)(8)-(88)而4-B-(11)-(19)-(1)故(A +B)(A- B)+ A?- B2.当然，一个简单的说法是，在得到AB≠BA之后，直接有(A+B)?=A2+AB+BA+B+A+2AB+B2(A+B)(A- B) = A?-AB+BA-B?+ A?- B?6.举反例说明下列命题是错误的：(1)若 A2= 0, 则 A= 0;(2)若A?=A, 则A=O或A=E;(3) 若 AX=AY, 且 A+O, 则X=Y01解： (1)取AA2=0,但A+00(2) 取 AA?=A.但A≠O且A≠E(3)取AX00AX=AY且A+O但X+Y.题5和题6看上去很简单，实则是再次提醒我们注意矩阵运算不满足交换律，不满足零律，不满足消去律这是线性代数初学者最容易犯的几个错误之一为数不少的人会一直犯这个错误我们要注意虽然矩阵也有所谓的“加法”、“乘法”但是这和我们熟知的实数加法、乘法是完全不同的，运算的对象不同，运算的内容不同，当然，运算的规律也不同，这是两个不同的讨论范围里的不同运算相同的只不过是沿用了以前的称谓或记号而已，我们不要被这一点“相同”而忘记二者本质的不同，这种不同的讨论范围里的“加法”、“乘法”，还有很多很多，在现代数学里非常广泛和一般107.设A-.求A?,A3...,Ak入1
20 第二章 矩阵及其运算 所以, AB 6= BA. (2) 因为 (A + B) 2 = Ã 2 2 2 5 ! Ã 2 2 2 5 ! = Ã 8 14 14 29 ! , 但 A2 + 2AB + B2 = Ã 3 8 4 11 ! + Ã 6 8 8 12 ! + Ã 1 0 3 4 ! = Ã 10 16 15 27 ! , 故 (A + B) 2 6= A2 + 2AB + B2 . (3) 因为 (A + B)(A − B) = Ã 2 2 2 5 ! Ã 0 2 0 1 ! = Ã 0 6 0 9 ! , 而 A2 − B2 = Ã 3 8 4 11 ! − Ã 1 0 3 4 ! = Ã 2 8 1 7 ! , 故 (A + B)(A − B) 6= A2 − B2 . 当然, 一个简单的说法是, 在得到 AB 6= BA 之后, 直接有 (A + B) 2 = A2 + AB + BA + B2 6= A2 + 2AB + B2 , (A + B)(A − B) = A2 − AB + BA − B2 6= A2 − B2 . 6 . 举反例说明下列命题是错误的: (1) 若 A2 = O, 则 A = O; (2) 若 A2 = A, 则 A = O 或 A = E; (3) 若 AX = AY , 且 A 6= O, 则 X = Y . 解: (1) 取 A = Ã 0 1 0 0 ! , A2 = O, 但 A 6= O. (2) 取 A = Ã 1 1 0 0 ! , A2 = A, 但 A 6= O 且 A 6= E. (3) 取 A = Ã 1 0 0 0 ! , X = Ã 1 1 −1 1 ! , Y = Ã 1 1 0 1 ! . AX = AY 且 A 6= O 但 X 6= Y . 题 5 和题 6 看上去很简单, 实则是再次提醒我们注意矩阵运算不满足交换律, 不满足零律, 不满足消 去律. 这是线性代数初学者最容易犯的几个错误之一, 为数不少的人会一直犯这个错误. 我们要注意, 虽然矩阵也有所谓的 “加法”、“乘法”, 但是这和我们熟知的实数加法、乘法是完全不同 的. 运算的对象不同, 运算的内容不同, 当然, 运算的规律也不同. 这是两个不同的讨论范围里的不同运算, 相同的只不过是沿用了以前的称谓或记号而已, 我们不要被这一点 “相同” 而忘记二者本质的不同. 这种不同的讨论范围里的 “加法”、“乘法”, 还有很多很多, 在现代数学里非常广泛和一般. 7 ．设 A = Ã 1 0 λ 1 ! . 求 A2 , A3 , · · · , Ak
21线性代数（同济四版）习题参考答案解：由计算4-(P)( 1)-(2 2)4'-AA-(P)()-(P)猜测：A"下用数学归纳法证明.n当n=1时，显然成立.假设n=k时成立，则n=k+1时4+-A*A-( )(9)-(a+) )由数学归纳法知：A入1,求Ak.8.设A0入100入解：方法一.首先计算21(892=022)>1000120133123入A3= A?. A:0133↓21300n(n-1)jn-2nan-11n猜测：An：0nn)n-1(n ≥ 2).00An下用数学归纳法证明：当n=2时，显然成立假设n=k时成立，则n=k+1时k(k-1) >k-2kyk-11kkjk-1格A+1 = A*. A0入0Ak00(k+1)±>k->$+1(h + 1)k-144+10(h + 1)k-1↓4+100k(k-1) μk-2k入k-1ak2Akk14-1由数学归纳法得证：Ak0Jk00上面的猜测其实是不容易得到的.这里另有一个解法
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 21 解: 由计算 A2 = Ã 1 0 λ 1 ! Ã 1 0 λ 1 ! = Ã 1 0 2λ 1 ! , A3 = A2A = Ã 1 0 2λ 1 ! Ã 1 0 λ 1 ! = Ã 1 0 3λ 1 ! . 猜测: An = Ã 1 0 nλ 1 ! . 下用数学归纳法证明. 当 n = 1 时, 显然成立. 假设 n = k 时成立, 则 n = k + 1 时 Ak+1 = AkA = Ã 1 0 kλ 1 ! Ã 1 0 λ 1 ! = Ã 1 0 (k + 1)λ 1 ! . 由数学归纳法知: Ak = Ã 1 0 kλ 1 ! . 8 ．设 A = λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ , 求 Ak . 解: 方法一. 首先计算 A2 = λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ = λ 2 2λ 1 0 λ 2 2λ 0 0 λ 2 , A3 = A2 · A = λ 3 3λ 2 3λ 0 λ 3 3λ 2 0 0 λ 3 . 猜测: An = λ n nλn−1 n(n−1) 2 λ n−2 0 λ n nλn−1 0 0 λ n , (n > 2). 下用数学归纳法证明: 当 n = 2 时, 显然成立. 假设 n = k 时成立, 则 n = k + 1 时 Ak+1 = Ak · A = λ k kλk−1 k(k−1) 2 λ k−2 0 λ k kλk−1 0 0 λ k λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ = λ k+1 (k + 1)λ k−1 (k+1)k 2 λ k−1 0 λ k+1 (k + 1)λ k−1 0 0 λ k+1 . 由数学归纳法得证: Ak = λ k kλk−1 k(k−1) 2 λ k−2 0 λ k kλk−1 0 0 λ k . 上面的猜测其实是不容易得到的. 这里另有一个解法