第一章行列式行列式是由研究线性方程组而产生的，在科学技术的许多领域里都要用到它，特别是在线性代数中更是不可缺少的工具。为了研究n元线性方程组，需要讨论n阶行列式的问题。本章我们将在二、三阶行列式的基础上给出n阶行列式的定义、行列式的性质、行列式的展开与计算以及Cramer法则等内容，s1一84n阶行列式的定义本节首先给大家介绍全排列、逆序数以及二、三阶行列式等知识，然后引出n阶行列式的概念。一、全排列及其逆序数在初等数学中讨论过全排列，即由n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）。特别地，从1到n这n个自然数，规定由小到大的自然排列为标准次序。于是，在这n个自然数的任一排列piP2P,中，当其中某两个元素的先后次序与排列的标准次序不同时，就说有一个逆序。一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法。不妨设从1到n这n个自然数的一个排列为PiP2"P，，考虑元素p，（i=1,2,"，n），如果比p,大且排在p,前面的元素有t，个，就说元素p,的逆序数为t,，那么所有元素的逆序数的总和t=, +t2 +..+t, =>ti=l即为这个排列pP,P,的逆序数。例1求排列54312的逆序数。解在排列54312中，由于5排在首位，逆序数为0；4的前面比4大的数有1个，其逆序数为1；3的前面比3大的数有2个，其逆序数为2；1的前面比1大的数有3个，其逆序数为3；2的前面比2大的数有3个，其逆序数为3。故排列54312的逆序数为t=0+1+2+3+3=9例2求排列13.(2n-1)24.·(2n)的逆序数。解该排列的逆序数为t=(n-1)+(n-2)+..+1+0= n(n-1)2二、对换下面，我们讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系。在一个排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续称为对换。将相邻两个元素对调，称为相邻对换。定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。证明先证相邻对换的情形，设给定的排列为1
1 第一章 行列式 行列式是由研究线性方程组而产生的，在科学技术的许多领域里都要用到它，特别是在线性代数中更 是不可缺少的工具。 为了研究 n 元线性方程组，需要讨论 n 阶行列式的问题。本章我们将在二、三阶行列式的基础上给出 n 阶行列式的定义、行列式的性质、行列式的展开与计算以及 Cramer 法则等内容。 §1—§4 n 阶行列式的定义 本节首先给大家介绍全排列、逆序数以及二、三阶行列式等知识，然后引出 n 阶行列式的概念。 一、全排列及其逆序数 在初等数学中讨论过全排列，即由 n 个不同元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）。 特别地，从 1 到 n 这 n 个自然数，规定由小到大的自然排列为标准次序。于是，在这 n 个自然数的任一排 列 p1 p2 pn 中，当其中某两个元素的先后次序与排列的标准次序不同时，就说有一个逆序。一个排列中 所有逆序的总数称为这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排 列。 下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法。不妨设从 1 到 n 这 n 个自然数的一个排列为 p1 p2 pn ， 考虑元素 i p （ i = 1,2, , n ），如果比 i p 大且排在 i p 前面的元素有 i t 个，就说元素 i p 的逆序数为 i t ，那么 所有元素的逆序数的总和 = = + + + = n i n i t t t t t 1 1 2 即为这个排列 p1 p2 pn 的逆序数。 例 1 求排列 54312 的逆序数。 解 在排列 54312 中，由于 5 排在首位，逆序数为 0； 4 的前面比 4 大的数有 1 个，其逆序数为 1； 3 的前面比 3 大的数有 2 个，其逆序数为 2； 1 的前面比 1 大的数有 3 个，其逆序数为 3； 2 的前面比 2 大的数有 3 个，其逆序数为 3。 故排列 54312 的逆序数为 t = 0+1+2+3+3 = 9 例 2 求排列 13(2n −1) 2 4(2n) 的逆序数。 解 该排列的逆序数为 2 ( 1) ( 1) ( 2) 1 0 − = − + − + + + = n n t n n 二、对换 下面，我们讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系。在一个排列中，将任意两个元素对调，其余的元 素不动，这种作出新排列的手续称为对换。将相邻两个元素对调，称为相邻对换。 定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 证明 先证相邻对换的情形，设给定的排列为
天....,j...其中A、B都代表若干个数码。施行相邻对换(i,j)后，得A.,j,i,...我们来比较这两个排列的逆序数，显然经过这个对换后，属于A和B的数码的位置都没有改变。同时，1、j与A、B中的数码所构成的逆序数也没有改变。若在给定的排列中，i<j，则经过对换(i,j)后，i与j就构成一个逆序，因此后一排列的逆序数比前一排列的逆序数增多1个；若在给定的排列中，i>j，则经过对换(i，j)后，后一排列的逆序数减少1个。不论是哪一种情形，排列的奇偶性都会改变。下证一般对换的情形，假设i与j之间有s个数码，我们用k,，kz，,k，来表示，这时给定的排列为(1)..,i,ki,k2,..,ks,j,..先让i向右移动，依次与k,kz，…，k，交换，经过s次相邻对换后，（1）变为(2)...,k,k,.,k,,i,j,...再让j向左移动，依次与i,ks，",k2,k,交换，经过s+1次相邻对换后，（2）变为(3)..j,kj,k..,k,,i,...可以看出，（3）正是对（1）施行2s+1次相邻对换而得到的。由于相邻对换会改变排列的奇偶性，且2s+1是一个奇数，于是可知，（1）与（3）的奇偶性相反。推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶数排列变成标准排列的对换次数为偶数。证明由定理1可知，对换的次数就是排列的奇偶性的改变次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0），因此推论成立。三、二、三阶行列式二阶行列式为anai2=ia22—ai221[a21 22下面我们着重对三阶行列式加以研究，因为二阶行列式非常简单，只要把三阶行列式的结构规律看清楚了，二阶行列式的情形就很容易看出了。下面看三阶行列式a23a21 a22 a23=aia2433 +ai2a23431 +ai3a2i432 -a1322a31-ai2a2143 -a1a23432[31a32a33]我们把α，叫做行列式的元素，并约定，在一个行列式里，把横排叫做行，纵排叫做列，容易看出：（1）上式等号右端的每一项都是3个元素的乘积，这3个元素来自不同行、不同列。因此，上式右端的任意项除正负号外可以写成αip,^2p?α3p这里第一个下标（行标）已排成标准排列123，而第二个下标（列标）排成PiP2P3，它是1、2、3三个数的某一排列，这样的排列共有6种，对应上式右端共有2
2 A B ,i, j, 其中 A 、 B 都代表若干个数码。施行相邻对换 (i, j) 后，得 A B , j,i, 我们来比较这两个排列的逆序数，显然经过这个对换后，属于 A 和 B 的数码的位置都没有改变。同时， i 、 j 与 A 、B 中的数码所构成的逆序数也没有改变。若在给定的排列中， i j ，则经过对换 (i, j) 后， i 与 j 就构成一个逆序，因此后一排列的逆序数比前一排列的逆序数增多 1 个；若在给定的排列中， i j ，则经 过对换 (i, j) 后，后一排列的逆序数减少 1 个。不论是哪一种情形，排列的奇偶性都会改变。 下证一般对换的情形，假设 i 与 j 之间有 s 个数码，我们用 s k , k , , k 1 2 来表示，这时给定的排列为 ,i, k1 , k 2 , , ks , j, （1） 先让 i 向右移动，依次与 s k , k , , k 1 2 交换，经过 s 次相邻对换后，（1）变为 , k1 , k 2 , , ks ,i, j, （2） 再让 j 向左移动，依次与 2 1 i, k , , k , k s 交换，经过 s +1 次相邻对换后，（2）变为 j, k1 , k2 , , ks ,i, （3） 可以看出，（3）正是对（1）施行 2s +1 次相邻对换而得到的。由于相邻对换会改变排列的奇偶性，且 2s +1 是一个奇数，于是可知，（1）与（3）的奇偶性相反。 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶数排列变成标准排列的对换次数为偶数。 证明 由定理 1 可知，对换的次数就是排列的奇偶性的改变次数，而标准排列是偶排列（逆序数为 0）， 因此推论成立。 三、二、三阶行列式 二阶行列式为 21 22 11 12 a a a a = a11a22 − a12a21 下面我们着重对三阶行列式加以研究，因为二阶行列式非常简单，只要把三阶行列式的结构规律看清 楚了，二阶行列式的情形就很容易看出了。下面看三阶行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 我们把 ij a 叫做行列式的元素，并约定，在一个行列式里，把横排叫做行，纵排叫做列，容易看出： （1）上式等号右端的每一项都是 3 个元素的乘积，这 3 个元素来自不同行、不同列。因此，上式右 端的任意项除正负号外可以写成 1p1 2 p2 3 p3 a a a . 这里第一个下标（行标）已排成标准排列 123，而第二个 下标（列标）排成 p1 p2 p3 ，它是 1、2、3 三个数的某一排列，这样的排列共有 6 种，对应上式右端共有
6项。（2）各项的正负号与列标排列的对照：带正号的3项列标排列为：123，231，312，均为偶排列；带负号的3项列标排列为：132，213，321，均为奇排列。因此，各项的正负号可以表示为(-1)，其中t为列标排列的逆序数。总之，三阶行列式可以写成[aa23a21a22=Z(-1)aip,a2p,a3pa23[a3ia3a32其中t为列标排列的逆序数，Z表示对1、2、3三个数的所有排列piP2P取和。四、n阶行列式仿照二、三阶行列式的定义，我们可以把行列式推广到一般情形。定义1用符号auai2.ana2na21a22..D, =(4)......aman2...amm表示的n阶行列式（Determinant）指的是n!项的代数和。这些项是一切可能的取自（4）的不同行不同列上的n个元素的乘积aip,a2p，amp。，项的符号为(-1)"，1为列标排列的逆序数，即D, =Z(-1)'aipa2p.".-amp,一个n阶行列式正是前面所说的二、三阶行列式的推广。特别地，当n=1时，一阶行列式就是α=a注意不要与绝对值符号相混淆。例3证明对角行列式（对角线上的元素是入，，未写出的元素都是0）：1元12=2,.元mn(n-1)12=(-1)2 ..元n证明第一式显然成立，下证第二式。在第二个行列式中，除了乘积入,2，··元，外，其它项都包含数0，从而等于0。可能不为0的这一项3
3 6 项。 （2）各项的正负号与列标排列的对照： 带正号的 3 项列标排列为：123，231，312，均为偶排列； 带负号的 3 项列标排列为：132，213，321，均为奇排列。 因此，各项的正负号可以表示为 t (−1) ，其中 t 为列标排列的逆序数。 总之，三阶行列式可以写成 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 1 1 2 2 3 3 ( 1) p p p t = − a a a 其中 t 为列标排列的逆序数， 表示对 1、2、3 三个数的所有排列 p1 p2 p3 取和。 四、n 阶行列式 仿照二、三阶行列式的定义，我们可以把行列式推广到一般情形。 定义 1 用符号 Dn = n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 （4） 表示的 n 阶行列式（Determinant）指的是 n! 项的代数和。这些项是一切可能的取自（4）的不同行不同列 上的 n 个元素的乘积 p p npn a a a 1 1 2 2 ，项的符号为 t (−1) ，t 为列标排列的逆序数，即 p p npn t Dn a a a 1 1 2 2 = (−1) 一个 n 阶行列式正是前面所说的二、三阶行列式的推广。特别地，当 n =1 时，一阶行列式就是 a = a ， 注意不要与绝对值符号相混淆。 例 3 证明对角行列式（对角线上的元素是 i ，未写出的元素都是 0）： n n 1 2 2 1 = n n n n 1 2 2 ( 1) 2 1 ( 1) − = − 证明 第一式显然成立，下证第二式。 在第二个行列式中，除了乘积 12 n 外，其它项都包含数 0，从而等于 0。可能不为 0 的这一项
的符号由元元，元，的位置来确定，当它们的行标排成标准排列12n时，对应的列标排列为n(n-1)...21，其逆序数为0+1+2 +..+(n-1)= n(n-1)2于是由行列式的定义可知第二式成立。例4证明上三角行列式ana2aina22a2n..D==a22a.am证明由于当i>j时，α,=0，故行列式D中可能不为0的元素αip的下标应满足：P,≥i即P,≥1, p, ≥2, .., p., ≥n.在所有排列piP2P，中，能满足上述关系的排列只有一个标准排列12n，于是行列式中可能不为0的项只有一项，即(-1)aua2"am，该项的符号为(-1)"=(-1)°=l，所以D=aua22am定理2n阶行列式也可定义为D, =Z(-1)'aplap.2 *-ap.n其中1为行标排列PiP2P,的逆序数。例5利用行列式的定义计算下列行列式：（D=0）1234554321D=00205000-34000-11s5行列式的性质对于二、三阶行列式，可以直接利用定义计算它们的值。但当n较大时，例如n=10时，直接用定义计算需要计算10!=3628800项，由此可见用定义直接计算高阶行列式是很麻烦的。因此，必须寻求一种计算行列式的简便方法。下面介绍的行列式的性质，不仅可以简化行列式的计算，而且对行列式的理论研究也起着非常重要的作用。我们记aaaina2.anta2..a21a22a2na12a22..an2D=DT =...anan2...amaina2n...am则称行列式DI为行列式D的转置行列式。4
4 的符号由 12 n 的位置来确定，当它们的行标排成标准排列 12n 时，对应的列标排列为 n(n −1)21 ，其逆序数为 2 ( 1) 0 1 2 ( 1) − + + + + − = n n n 于是由行列式的定义可知第二式成立。 例 4 证明上三角行列式 nn n n a a a a a a D 22 2 11 12 1 = = a11a22 ann 证明 由于当 i j 时， aij = 0 ，故行列式 D 中可能不为 0 的元素 i ip a 的下标应满足： p i i . 即 p1 1， p2 2 ，.， pn n. 在所有排列 p1 p2 pn 中，能满足上述关系的排列只有一个标准排列 12n ，于是行列式中可能不 为 0 的项只有一项，即 nn t (−1) a11a22 a ，该项的符号为 ( 1) ( 1) 1 0 − = − = t ，所以 D = a11a22 ann . 定理 2 n 阶行列式也可定义为 p p p n t n n D a 1a 2 a 1 2 = (−1) 其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数。 例 5 利用行列式的定义计算下列行列式：（ D = 0 ） 0 0 0 1 1 0 0 0 3 4 0 0 0 2 5 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 − − D = §5 行列式的性质 对于二、三阶行列式，可以直接利用定义计算它们的值。但当 n 较大时，例如 n =10 时，直接用定义 计算需要计算 10! 3628800 = 项，由此可见用定义直接计算高阶行列式是很麻烦的。因此，必须寻求一种 计算行列式的简便方法。下面介绍的行列式的性质，不仅可以简化行列式的计算，而且对行列式的理论研 究也起着非常重要的作用。 我们记 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = ， 11 21 1 12 22 2 1 2 n T n n n nn a a a a a a D a a a = 则称行列式 T D 为行列式 D 的转置行列式
性质1行列式与它的转置行列式相等。证记D=det(a.）的转置行列式为[bbi2..bnbrb22..banDT=..[baibn2...bmm即b,=a（i,j=1,2,n）。按定义可知DT=Z(-1)"bib2p...bp.=Z(-1)'apiap2*"ap."于是由定理2可知DT=D由性质1可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然。性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。证明设行列式bubi2...binb2ib22...banD=.bbh2.bm是由行列式D=det(a）交换i、j两行得到的，即当ki,j时，bp=ap；当k=i,j时，bp=ap，b=ap，于是D,=E(-1)"bpb2p...bp,..bp,..bp.=Z(1)'ai2papa,ap.=Z(-1)'aima2p-ap, "-.am.其中12.j.n为标准排列，1为列标排列piP.P.P,"p.的逆序数。设排列piP2"P,P.p,的逆序数为，则(-1)=-(-1)，于是D, =-Z(-1)"apa2ap,ap"am=-D推论若行列式有两行（列）元素完全相同，由该行列式为零。性质3行列式的某一行（列）所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式。推论行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质4行列式中若有两行（列）元素对应成比例，则该行列式等于零。性质5若行列式的某一行（列）所有元素都是两数之和，例如5
5 性质 1 行列式与它的转置行列式相等。 证 记 det( ) D a = ij 的转置行列式为 11 12 1 21 22 2 1 2 n T n n n nn b b b b b b D b b b = 即 bij = a ji （ i, j =1,2, ,n ）。按定义可知 p p bpn T t D b b b 1 1 2 2 = (−1) p p p n t n a 1a 2 a 1 2 = (−1) 于是由定理 2 可知 D D T = 由性质 1 可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立， 反之亦然。 性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号。 证明 设行列式 n n nn n n b b b b b b b b b D 1 2 21 22 2 11 12 1 1 = 是由行列式 det( ) D = aij 交换 i 、 j 两行得到的，即当 k i, j 时， bkp = akp ；当 k = i, j 时， bip = a jp ，bjp = aip ， 于是 i j npn p p ip jp t D b b b b b 1 1 1 2 2 = (−1) i j npn p p jp ip t a a a a a 1 1 2 2 = (−1) j i npn p p ip jp t a a a a a 1 1 2 2 = (−1) 其中 12i jn 为标准排列， t 为列标排列 p1 p2 pi p j pn 的逆序数。设排列 p1 p2 p j pi pn 的逆 序数为 1 t ，则 1 ( 1) ( 1) t t − = − − ，于是 D a a a a a D j i npn p p ip jp t = − − = − 1 2 1 1 1 2 ( 1) 推论 若行列式有两行（列）元素完全相同，由该行列式为零。 性质 3 行列式的某一行（列）所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式。 推论 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 性质 4 行列式中若有两行（列）元素对应成比例，则该行列式等于零。 性质 5 若行列式的某一行（列）所有元素都是两数之和，例如