《线性代数》课程教学资源（讲稿）第2章 矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算$1矩阵的概念、线性变换与矩阵在许多问题中，我们会遇到一些变量用另外一些变量来线性表示。设变量yi,J，，y能用变量X,x2，,x线性表示，即yi=ai+ai2X2+...+ainx,y2 =a2iX, +a*2 +...+a2nXn(1)ym=amX,+am2X2+..+ammX其中a为常数（i=1,2,…m；j-1,2,n）。这种从变量xj,x2,,x到变量yji,J2",y的变换称为线性变换。线性变换（1）中的系数可以排成m行n列的数表：auai2.auna2ia22a2namlam2..amn而线性方程组u, +ai2X2 ++a,= ba2ij +a2X2+..+a2nx,=b,amx,+am2X2+.".+ammX,=b,的系数也可以排成这样的数表，这种数表就叫做矩阵。定义1由mxn个数a（i=1,2,.,m；j=1,2,,n）排成m行n列的数表[aa2..A22a2ma21(2)A=[amlam2.amm称为m行n列矩阵，简称mxn矩阵。这mxn个数称为矩阵A的元素，a，表示矩阵A的第i行第j列元素。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵除特别说明外，都是指实矩阵。（2）式也可简记为A=(a,)m或A=(a,）或Amn二、几种特殊的矩阵（1）当m=n时，A称为n阶方阵。（2）只有一行的矩阵A=[a a2.. a,]称为行矩阵：只有一列的矩阵23

23 第二章 矩阵及其运算 §1 矩阵的概念 一、线性变换与矩阵 在许多问题中，我们会遇到一些变量用另外一些变量来线性表示。设变量 m y , y , , y 1 2  能用变量 n x , x , , x 1 2  线性表示，即        = + + + = + + + = + + + m m m mn n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 （1） 其中 aij 为常数（ i = 1,2,  ,m ； j =1,2,  ,n ）。这种从变量 n x , x , , x 1 2  到变量 m y , y , , y 1 2  的变换称为线性变 换。 线性变换（1）中的系数可以排成 m 行 n 列的数表： m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 而线性方程组        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 的系数也可以排成这样的数表，这种数表就叫做矩阵。 定义 1 由 m n 个数 aij （ i = 1,2,  ,m ； j =1,2,  ,n ）排成 m 行 n 列的数表             = m m mn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 （2） 称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵。这 m n 个数称为矩阵 A 的元素， aij 表示矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素。 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵除特别说明外，都是指实矩 阵。（2）式也可简记为 A = aij mn ( ) 或 ( ) A = aij 或 Amn 二、几种特殊的矩阵 （1）当 m = n 时， A 称为 n 阶方阵。 （2）只有一行的矩阵   A = a1 a2  an 称为行矩阵；只有一列的矩阵

65B:bm称为列矩阵。（3）当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。（4）若A=（a）与B=(b）是同型矩阵，且它们的对应元素都相等，即ag=by(i=1,2,.",m; j=1,2,,n)则称矩阵A与B相等，记作A=B（5）元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作0.注意不同型的零矩阵是不同的。（6）上三角矩阵：当i>j时，，=0.auA12in...0a22a2mA00Amn（7）对角矩阵：主对角线以外的元素都是零。00[au00a22..A=00a..（8）数量矩阵：主对角线上的元素都相等的对角矩阵。[α001"0元0A=[。 。元（9）单位矩阵：主对角线上的元素都是1的数量矩阵。[10..000E.00..1给定了线性变换（1），它的系数所构成的矩阵（叫做系数矩阵）也就确定了。反之，如果给出一个矩阵作为某个线性变换的系数矩阵，则该线性变换也就确定了。在这个意义上，线性变换与矩阵之间存在着一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换。例1线性变换yi=x,Jy2=X2ly,=x,叫做恒等变换。它所对应的矩阵是n阶单位矩阵24

24             = mb b b B  2 1 称为列矩阵。 （3）当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。 （4）若 ( ) A = aij 与 ( ) B = bij 是同型矩阵，且它们的对应元素都相等，即 aij = bij （ i = 1,2,  ,m ； j =1,2,  ,n ） 则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B. （5）元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O . 注意不同型的零矩阵是不同的。 （6）上三角矩阵：当 i  j 时， aij = 0 .             = mn n n a a a a a a A        0 0 0 22 2 11 12 1 （7）对角矩阵：主对角线以外的元素都是零。             = ann a a A        0 0 0 0 0 0 22 11 （8）数量矩阵：主对角线上的元素都相等的对角矩阵。             =           0 0 0 0 0 0 A （9）单位矩阵：主对角线上的元素都是 1 的数量矩阵。             = 0 0 1 0 1 0 1 0 0        En 给定了线性变换（1），它的系数所构成的矩阵（叫做系数矩阵）也就确定了。反之，如果给出一个矩 阵作为某个线性变换的系数矩阵，则该线性变换也就确定了。在这个意义上，线性变换与矩阵之间存在着 一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换。 例 1 线性变换        = = = n n y x y x y x  2 2 1 1 叫做恒等变换。它所对应的矩阵是 n 阶单位矩阵

00001E.Loo..即E=(8,)例2线性变换[i=x]y2=X2y,=A.x所对应的n阶方阵是n阶对角阵。$2矩阵的运算一、矩阵的加法定义设有两个mxn矩阵A=(a,），1B=（b,），则矩阵A与B的和记作A+B，规定为aui+ba2+b2...an+bna2i+b21an+b22...a2n+bamA+B=(a, +b,)=....(am+bmlam2+bm2...amm+bm注意只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。设矩阵A=(a,），记-A=(-a,)则称-A为矩阵A的负短阵，显然有A+(-A)=O由此规定矩阵的减法为A-B= A+(-B)=(au-b,)二、数乘矩阵定义数入与矩阵A的乘积记作入A或A元，规定为(aNa2.. Jan)Aai Jaz ... Jan1A=AL=...-..Mam(aanAan2矩阵的加法与数乘矩阵运算，统称为矩阵的线性运算。容易验证，矩阵的线性运算有以下8条性质：假设A,B,C都是mxn矩阵，入，u都是数，则(1) A+B=B+A(2) (A+B)+C=A+(B+C)25

25             = 0 0 1 0 1 0 1 0 0        En 即 ( ) E =  ij 例 2 线性变换        = = = n n n y x y x y x     2 2 2 1 1 1 所对应的 n 阶方阵是 n 阶对角阵。 §2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 定义 设有两个 m n 矩阵 ( ) A a = ij ， ( ) B b = ij ，则矩阵 A 与 B 的和记作 A B+ ，规定为 ( ) A B a b + = + = ij ij 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b   + + +   + + +         + + + 注意 只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。 设矩阵 ( ) A a = ij ，记 ( ) − = − A aij 则称 −A 为矩阵 A 的负矩阵，显然有 A A O + − = ( ) 由此规定矩阵的减法为 ( ) ( ) A B A B a b − = + − = −ij ij 二、数乘矩阵 定义 数  与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A ，规定为 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A A a a a                  = =       矩阵的加法与数乘矩阵运算，统称为矩阵的线性运算。容易验证，矩阵的线性运算有以下 8 条性质： 假设 A B C , , 都是 m n 矩阵，  , 都是数，则 （1） A B B A + = + （2） ( ) ( ) A B C A B C + + = + +

(3)A+O=A(4) A+(-A)=0(5) 1.A=A(6) (Aμ)A=(μA)(7) ^(A+B)=^A+B(8)(+μ)A=A+μA三、矩阵乘法设有两个线性变换[=a+a+a(1)[y=a+axax =b+b12t2(2)x, = b11 +b22l2[Xg =b31ti +b32t2若想求出从1,,到,J的线性变换，可将（2）代入（1)，便得到yi=(ab.+ai2b2i+a3b31)t +(ab12+a2b22+aib32)f2(3)y=abu+abi+abt+(ab+ab+ab)t线性变换（3）可看成是先作线性变换（2）再作线性变换（1）的结果。我们把线性变换（3）叫做线性变换（1）与（2）的乘积，相应地把（3）所对应的矩阵定义为（1）与（2）所对应的矩阵的乘积，即(bbi2(aa2a3ba1b2a23a2ia22(bsbsz2)(aibu+azb2+ab31a,bi2+azb2+arba2(a2b+a22b2+ab31a2bi2+a22b22+a2b32一般地，我们有定义设有矩阵A=(a,）m，和B=(b,），则规定矩阵A与B的乘积是一个mxn矩阵C=(c,）mn其中C,=arb,+a,zb2,+.+ab,-Zabhk=（i=1,2,.m；j=1,2,n）并把该乘积记作C=AB注意只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。例1求下列矩阵的乘积：-122(1）-2126

26 （3） A O A + = （4） A A O + − = ( ) （5） 1 = A A （6） ( ) ( )    A A = （7）    ( ) A B A B + = + （8） ( )     + = + A A A 三、矩阵乘法 设有两个线性变换 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 y a x a x a x y a x a x a x  = + +   = + + （1） 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 3 31 1 32 2 x b t b t x b t b t x b t b t  = +   = +   = + （2） 若想求出从 1 2 t t, 到 1 2 y y, 的线性变换，可将（2）代入（1），便得到 1 11 11 12 21 13 31 1 11 12 12 22 13 32 2 2 21 11 22 21 23 31 1 21 12 22 22 23 32 2 ( ) ( ) ( ) ( ) y a b a b a b t a b a b a b t y a b a b a b t a b a b a b t  = + + + + +   = + + + + + （3） 线性变换（3）可看成是先作线性变换（2）再作线性变换（1）的结果。我们把线性变换（3）叫做线性变 换（1）与（2）的乘积，相应地把（3）所对应的矩阵定义为（1）与（2）所对应的矩阵的乘积，即 11 12 11 12 13 21 22 21 22 23 31 32 b b a a a b b a a a b b              11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b   + + + + =     + + + + 一般地，我们有 定义 设有矩阵 ( ) A a = ij m s  和 ( ) B b = ij s n ，则规定矩阵 A 与 B 的乘积是一个 m n 矩阵 ( ) C c = ij m n ， 其中 1 1 2 2 1 s ij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b = = + + + =  （ i m =1,2, ； j n =1,2, ）并把该乘积记作 C AB = 注意 只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。 例 1 求下列矩阵的乘积： （1） 1 3 2 1 0 2 1 3 1 2 5 0   −   −        −     − 0 7 15 8   − =     −

-112)-18 :2100(6)-6)（3)6-(4)157通过例1的计算，我们可以看到，对于数的乘法成立的运算规律，对于矩阵的乘法并不都成立，值得提出的是以下两点：①两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。②矩阵的乘法一般不满足交换律，即一般地，AB+BA.不过，矩阵的乘法仍然满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：(1) (AB)C=A(BC)(2) A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA(3）(AB)=(αA)B=A(B)（其中为数)对于单位矩阵E，容易验证AE-EA-A有了矩阵的乘法，下面来定义n阶方阵的暴：设A是n阶方阵，则A=A,A=AA,...,A+I=AA其中k为正整数，即A*就是k个A连乘。显然只有方阵的幂才有意义。方阵的幂满足以下运算规律：A*A'=A+I，(A*)=Ak!但是一般说来(AB)*+A*Bk例2求证cose-sinocosne-sinngsinesin ngcoscos ne证（采用数学归纳法）（1）当n=1时，等式显然成立。（2）假设当n=k时等式成立，即cose-sinecosng-sin nocosasinesinnecos no则当n=k+1时，(cosg-sing)cosg -sinecoso -sinesinesinecosecos(sincoso27

27 （2） 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1   −    −          − 0 0 0 0 0 0     =       （3） 1 2 2 3 2 1 3 1     −         8 1 7 5   − =     − （4） 2 3 1 2 3 1 2 1     −         4 1 5 7   − =     通过例 1 的计算，我们可以看到，对于数的乘法成立的运算规律，对于矩阵的乘法并不都成立，值得 提出的是以下两点： ①两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。 ②矩阵的乘法一般不满足交换律，即一般地， AB BA  . 不过，矩阵的乘法仍然满足下列运算规律（假设运算都是可行的）： （1） ( ) ( ) AB C A BC = （2） A B C AB AC ( ) + = + ， ( ) B C A BA CA + = + （3）    ( ) ( ) ( ) AB A B A B = = （其中  为数） 对于单位矩阵 E ，容易验证 AE E A A = = 有了矩阵的乘法，下面来定义 n 阶方阵的幂：设 A 是 n 阶方阵，则 1 A A = ， 2 1 1 A A A = ， . ， k k 1 1 A A A + = 其中 k 为正整数，即 k A 就是 k 个 A 连乘。显然只有方阵的幂才有意义。 方阵的幂满足以下运算规律： k l k l A A A + = ， ( ) k l k l A A = 但是一般说来 ( )k k k AB A B  例 2 求证 cos sin sin cos n       −     cos sin sin cos n n n n       − =     证 （采用数学归纳法） （1）当 n =1 时，等式显然成立。 （2）假设当 n k = 时等式成立，即 cos sin sin cos k       −     cos sin sin cos n n n n       − =     则当 n k = +1 时， 1 cos sin sin cos k     +   −     cos sin sin cos k       − =     cos sin sin cos       −    