第三章矩阵的初等变换与线性方程组本章的重要题型有两个：·解矩阵方程的新方法，习题4，5.例题见教材P.65例3·方程组解的讨论，习题15，16，17.例题见教材P.76例12.1，把下列矩阵化为行最简形矩阵02-112-301(1)2031(2)033304-3Y31(3)(4)2-253-c3-32解： (1)(2)E(3)50-810-200000o-4+(-tV1U(4)3I131209380dr4-2r2-33111+a33
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 本章的重要题型有两个: • 解矩阵方程的新方法, 习题 4, 5. 例题见教材 P.65 例 3. • 方程组解的讨论, 习题 15, 16, 17. 例题见教材 P.76 例 12. 1 . 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1) 1 0 2 −1 2 0 3 1 3 0 4 −3 ; (2) 0 2 −3 1 0 3 −4 3 0 4 −7 −1 ; (3) 1 −1 3 −4 3 3 −3 5 −4 1 2 −2 3 −2 0 3 −3 4 −2 −1 ; (4) 2 3 1 −3 −7 1 2 0 −2 −4 3 −2 8 3 0 2 −3 7 4 3 . 解: (1) 1 0 2 −1 2 0 3 1 3 0 4 −3 r2 − 2r1 r^3 − 3r1 1 0 2 −1 0 0 −1 3 0 0 −2 0 r2 ÷ (−1) r3^÷ (−2) 1 0 2 −1 0 0 1 −3 0 0 1 0 r3 − r2 ^ 1 0 2 −1 0 0 1 −3 0 0 0 3 r3 ÷ 3 ^ 1 0 2 −1 0 0 1 −3 0 0 0 1 r2 + 3r3 ^ 1 0 2 −1 0 0 1 0 0 0 0 1 r1 − 2r2 ^r1 + r3 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (2) 0 2 −3 1 0 3 −4 3 0 4 −7 −1 r2 × 2 − 3r1 r^3 − 2r1 0 2 −3 1 0 0 1 3 0 0 −1 −3 r3 + r2 r^1 + 3r2 0 2 0 10 0 0 1 3 0 0 0 0 r1 ÷ 2 ^ 0 1 0 5 0 0 1 3 0 0 0 0 (3) 1 −1 3 −4 3 3 −3 5 −4 1 2 −2 3 −2 0 3 −3 4 −2 −1 r2 − 3r1 r^3 − 2r1 r4 − 3r1 1 −1 3 −4 3 0 0 −4 8 −8 0 0 −3 6 −6 0 0 −5 10 −10 r2 ÷ (−4) r3^÷ (−3) r4 ÷ (−5) 1 −1 3 −4 3 0 0 1 −2 2 0 0 1 −2 2 0 0 1 −2 2 r1 − 3r2 ^r3 − r2 r4 − r2 1 −1 0 2 −3 0 0 1 −2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (4) 2 3 1 −3 −7 1 2 0 −2 −4 3 −2 8 3 0 2 −3 7 4 3 r1 − 2r2 r^3 − 3r2 r4 − 2r2 0 −1 1 1 1 1 2 0 −2 −4 0 −8 8 9 12 0 −7 7 8 11 33
34第三章矩阵的初等变换与线性方程组Y1020-2112+2r1020-2r:01-1-111100014004-8r1ra × (1)7r1r4-r34000000010-220030--1001400000322.设求A.10004.56-1008900117解：可以按照求矩阵方程的一般方法求解(:8)(1:4560由0112300145C6115L0.12908001.178F00022223S得或者有下面的解法，123记B=456注意到A两边乘以的是初等矩阵，可知矩阵B是把A进行初等变换r1→T2789和c3+ci得到的.所以要得到A，需要将B进行初等变换c3-C和rir2.即456122B :5=A782还有一种看法是把变为单位阵，这相当于在1.0000000
34 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 r2 + 2r1 r^3 − 8r1 r4 − 7r1 0 −1 1 1 1 1 0 2 0 −2 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 r1 ↔ r2 r2^× (−1) r4 − r3 1 0 2 0 −2 0 1 −1 −1 −1 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 r2 + r3 ^ 1 0 2 0 −2 0 1 −1 0 3 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 2 . 设 0 1 0 1 0 0 0 0 1 A 1 0 1 0 1 0 0 0 1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , 求 A. 解: 可以按照求矩阵方程的一般方法求解. A = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 0 1 0 0 0 1 −1 由 0 1 0 1 2 3 1 0 0 4 5 6 0 0 1 7 8 9 r1 ↔ r2 ^ 1 0 0 4 5 6 0 1 0 1 2 3 0 0 1 7 8 9 1 0 1 0 1 0 0 0 1 4 5 6 1 2 3 7 8 9 c3 − c1 ^ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 5 2 1 2 2 7 8 2 得 A = 4 5 2 1 2 2 7 8 2 或者有下面的解法. 记 B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . 注意到 A 两边乘以的是初等矩阵, 可知矩阵 B 是把 A 进行初等变换 r1 ↔ r2 和 c3 + c1 得到的. 所以要得到 A, 需要将 B 进行初等变换 c3 − c1 和 r1 ↔ r2. 即 B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c3 − c1 ^ 1 2 2 4 5 2 7 8 2 r1 ↔ r2 ^ 4 5 2 1 2 2 7 8 2 = A 还有一种看法是把 0 1 0 1 0 0 0 0 1 和 1 0 1 0 1 0 0 0 1 变为单位阵, 这相当于在 0 1 0 1 0 0 0 0 1 A 1 0 1 0 1 0 0 0 1
线性代数（同济四版）习题参考答案35123两边分别左乘、右乘了相应的初等矩阵，那么矩阵也要进行相应的行变换、列变换，即：456789（两边同时r1→T2）（两边同时c3-C1）7X3，试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵-2432220(1)(2)31530解： (1)3001 + 3020011040台一2~即逆矩阵为2-1-10麦-1(2)3-20-111000-2-2100022022-2--3301201201L02012(1004040-30012010003*1
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 35 两边分别左乘、右乘了相应的初等矩阵, 那么矩阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 也要进行相应的行变换、列变换, 即: 0 1 0 1 0 0 0 0 1 A 1 0 1 0 1 0 0 0 1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 =⇒ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A 1 0 1 0 1 0 0 0 1 = 4 5 6 1 2 3 7 8 9 (两边同时 r1 ↔ r2) =⇒ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 4 5 2 1 2 2 7 8 2 (两边同时 c3 − c1) =⇒A = 4 5 2 1 2 2 7 8 2 . 3 . 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: (1) 3 2 1 3 1 5 3 2 3 ; (2) 3 −2 0 −1 0 2 2 1 1 −2 −3 −2 0 1 2 1 . 解: (1) 3 2 1 1 0 0 3 1 5 0 1 0 3 2 3 0 0 1 r2 − r1 ^r3 − r1 3 2 1 1 0 0 0 −1 4 −1 1 0 0 0 2 −1 0 1 r1 − r3/2 r^2 − 2r3 3 2 0 3 2 0 − 1 2 0 −1 0 1 1 −2 0 0 2 −1 0 1 r1 − 2r2 ^r3 ÷ 2 3 0 0 7 2 2 − 9 2 0 −1 0 1 1 −2 0 0 1 − 1 2 0 1 2 r1 ÷ 3 ^ 1 0 0 7 6 2 3 − 3 2 0 1 0 −1 −1 2 0 0 1 − 1 2 0 1 2 即逆矩阵为 7 6 2 3 − 3 2 −1 −1 2 − 1 2 0 1 2 . (2) 3 −2 0 −1 1 0 0 0 0 2 2 1 0 1 0 0 1 −2 −3 −2 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 r1 ↔ r3 ^ 1 −2 −3 −2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 3 −2 0 −1 1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 r3 − 3r1 ^ 1 −2 −3 −2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 0 4 9 5 1 0 −3 0 0 1 2 1 0 0 0 1 r2 ↔ r4 ^ 1 −2 −3 −2 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 4 9 5 1 0 −3 0 0 2 2 1 0 1 0 0
36第三章矩阵的初等变换与线性方程组-210001-210001-2-31-2-3110121;0000121.0001r4 +.2r3-4001110-30011:10-3-40-200000-2-11011-21-6-10142-11-20(10-2-2-2-301-2011-160122-11101000001-134600-1360010-13117+2000221-6-10000-101.1-61100111-2-400;010010-11+2r260010.3-1-10200-101-611-2-4010-1故逆矩阵为-1-1362-6-10141-3-24.(1)设A22B2求X使AX=B;=21313-1-1201321(2) 设 A =23B求X使XA=B-12-3-33-4解: (1)-21 1-340.-211,22(A, B) =22221223-113-1331-1-2-210-236O1026-95660223J2-210U2950111530012ra × (-1)0121所以102X=A-1B:-15-3412(2)2200001113-123-722-1333-311-3-3-4-4-4F23321311-422-321-511-3
36 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 r3 − 4r1 r^4 − 2r1 1 −2 −3 −2 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 −3 −4 0 0 −2 −1 0 1 0 −2 r4 + 2r3 ^ 1 −2 −3 −2 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 −3 −4 0 0 0 1 2 1 −6 −10 r3 − r4 ^r2 − r4 r1 + 2r4 1 −2 −3 0 4 2 −11 −20 0 1 2 0 −2 −1 6 11 0 0 1 0 −1 −1 3 6 0 0 0 1 2 1 −6 −10 r2 − 2r3 r^1 + 3r3 1 −2 0 0 1 −1 −2 −2 0 1 0 0 0 1 0 −1 0 0 1 0 −1 −1 3 6 0 0 0 1 2 1 −6 −10 r1 + 2r2 ^ 1 0 0 0 1 1 −2 −4 0 1 0 0 0 1 0 −1 0 0 1 0 −1 −1 3 6 0 0 0 1 2 1 −6 −10 故逆矩阵为 1 1 −2 −4 0 1 0 −1 −1 −1 3 6 2 1 −6 −10 . 4 . (1) 设 A = 4 1 −2 2 2 1 3 1 −1 , B = 1 −3 2 2 3 −1 , 求 X 使 AX = B; (2) 设 A = 0 2 1 2 −1 3 −3 3 −4 , B = Ã 1 2 3 2 −3 1 ! , 求 X 使 XA = B. 解: (1) (A, B) = 4 1 −2 1 −3 2 2 1 2 2 3 1 −1 3 −1 r1 − r3 ^ 1 0 −1 −2 −2 2 2 1 2 2 3 1 −1 3 −1 r2 − 2r1 r^3 − 3r1 1 0 −1 −2 −2 0 2 3 6 6 0 1 2 9 5 r2 ↔ r3 ^ 1 0 −1 −2 −2 0 1 2 9 5 0 2 3 6 6 r3 − 2r2 ^ 1 0 −1 −2 −2 0 1 2 9 5 0 0 −1 −12 −4 r1 − r3 r^2 + 2r3 r3 × (−1) 1 0 0 10 2 0 1 0 −15 −3 0 0 1 12 4 . 所以 X = A−1B = 10 2 −15 −3 12 4 . (2) Ã A B ! = 0 2 1 2 −1 3 −3 3 −4 1 2 3 2 −3 1 c1 ↔ c3 ^ 1 2 0 3 −1 2 −4 3 −3 3 2 1 1 −3 2 c2 − 2c1 ^ 1 0 0 3 −7 2 −4 11 −3 3 −4 1 1 −5 2
线性代数（同济四版）习题参考答案3700100003213103102c2 +4c:-4-1-300ea × (1)013301-1-1121313177-4-40011000012-1-17-44所以X=BA-7本题解法与教材P.65例3相同，是解矩阵方程的一个重要方法，也是一个必须掌握的题型在解题中有一处细节要注意：不要在解题的开始就写上已知AX=B,所以X=A-1B因为A是否可逆，此时还是未知的。严格地讲就不能出现该写法01 -15.设A=01-1AX =-2X+A,求 X.0-11解：由AX=2X+A得AX-2X=A(A- 2E)X = A又-1-101-1000(A - 2E, A) =0010-1-1-10-101000-10r3+r0002000-2-Ur2 + r3X0n00r1 +r2-O01所以X =(A- 2E)-1A:=0-101
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 37 c2 + 4c3 ^ 1 0 0 3 1 2 −4 −1 −3 3 0 1 1 3 2 c3 − 2C2 ^ 1 0 0 3 1 0 −4 −1 −1 3 0 1 1 3 −4 c2 − c3 c^1 − 4c3 c3 × (−1) 1 0 0 3 1 0 0 0 −1 −1 −1 1 17 7 −4 c1 − 3c2 ^ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 −1 −1 −4 7 4 . 所以 X = BA−1 = Ã 2 −1 −1 −4 7 4 ! . 本题解法与教材 P.65 例 3 相同, 是解矩阵方程的一个重. 要. 方. 法. , 也是一个必须掌握的题型. 在解题中有一处细节要注意: 不要在解题的开始就写上 已知 AX = B, 所以 X = A−1B. 因为 A 是否可逆, 此时还是未知的. 严格地讲就不能出现该写法. 5 . 设 A = 1 −1 0 0 1 −1 −1 0 1 , AX = 2X + A, 求 X. 解: 由 AX = 2X + A 得 AX − 2X = A (A − 2E)X = A 又 (A − 2E, A) = −1 −1 0 1 −1 0 0 −1 −1 0 1 −1 −1 0 −1 −1 0 1 r3 − r1 ^ −1 −1 0 1 −1 0 0 −1 −1 0 1 −1 0 1 −1 −2 1 1 r3 + r2 ^ −1 −1 0 1 −1 0 0 −1 −1 0 1 −1 0 0 −2 −2 2 0 r3 ÷ (−2) ^ −1 −1 0 1 −1 0 0 −1 −1 0 1 −1 0 0 1 1 −1 0 r2 + r3 ^ −1 −1 0 1 −1 0 0 −1 0 1 0 −1 0 0 1 1 −1 0 r2 × (−1) ^ −1 −1 0 1 −1 0 0 1 0 −1 0 1 0 0 1 1 −1 0 r1 + r2 ^ −1 0 0 0 −1 1 0 1 0 −1 0 1 0 0 1 1 −1 0 r1 × (−1) ^ 1 0 0 0 1 −1 0 1 0 −1 0 1 0 0 1 1 −1 0 所以 X = (A − 2E) −1A = 0 1 −1 −1 0 1 1 −1 0