目录微分中值定理洛必达法则泰勒公式及应用利用导数研究函数性态平面曲线的曲率方程的近似解
2 目录 5 平面曲线的曲率
曲率与弧长曲线的弯曲程度是曲线的一种几何性质，数学上用曲率来描述这一性质。类似与曲线的切线斜率、凸性等，曲率的计算同样是函数导数的应用，本节将给出曲率的计算公式。在曲率公式的推导中将会用到曲线的弧长，而弧长的严格推导将在定积分的章节中给出，此处我们直接给出所需要的弧长微分公式
3 曲率与弧长 曲线的弯曲程度是曲线的一种几何性质， 数学上用曲率来描述这一性质。 类似与曲线的切线斜率、凸性等，曲率的计算同样是函数导数的应用， 本节将给出曲率的计算公式。 在曲率公式的推导中将会用到曲线的弧长， 而弧长的严格推导将在定积分的章节中给出， 此处我们直接给出所需要的弧长微分公式
弧长aurT曲线的弧长是无法直接丈量的，但是可以通过极限来逼近。弧长的定义设曲线C，端点为A，B，可利用积分的思想来定义曲线长度。在曲线上依次取分点Mo=A,M1,M2，,Mn=B，连接相邻分点，得到曲线C的内接折线，折线长为Zi=1lMi-1Mil，记a为max IMi-iMil,1≤i<n若当→0时（同时有n→），Zi=1lMi-1Mil 的极限存在,则称极限 lim Zi=iIMi-1M;l 为曲线 C 的弧长，称C 为可求长的。1-0
4 弧长 曲线的弧长是无法直接丈量的，但是可以通过极限来逼近。 弧长的定义 设曲线 �，端点为 �, �，可利用积分的思想来定义曲线长度。 连接相邻分点，得到曲线 � 的内接折线，折线长为 �=� � ��−��� ， 记 � 为 max �≤�≤� ��−��� ， 若当 � → � 时（同时有 � → ∞）， �=� � ��−��� 的极限存在， 则称极限 lim �→� �=� � ��−��� 为曲线 � 的弧长，称 � 为可求长的。 在曲线上依次取分点 �� = �, ��, ��, ⋯, �� = �
弧长8m设曲线C的函数为y=f(x)，a≤x≤b,在下一章中将证明，当f(x) E Ci[a,b] 时，曲线C 是可求长的,可建立弧长函数s(x)，s(a)=0。y=f(g)/YA在自变量变化区间[x,x+x]上，M可求弧长△s= s(x+△x)一s(x),A.sAydyds= Jim= /1+ f"2(x),MoM于是，dx△x=0AxdxAX即ds=V1+fi2(x)dx，称为弧长微分。oXoxx+Ax若曲线由参数方程表示x = x(t)，y=y(t)，t E[α,]则有 ds = /dx2 + dy2 = /x2(t) + y'2(t)dt
5 弧长 设曲线 � 的函数为 � = � � ，� ≤ � ≤ �， 在下一章中将证明，当 � � ∈ � � �, � 时，曲线 � 是可求长的， 可建立弧长函数 � � ，� � = �。 在自变量变化区间 �, � + �� 上， 于是， �� �� = lim ��→� �� �� = � + � ′� � ， 即 �� = � + � ′� � ��，称为弧长微分。 若曲线由参数方程表示 � = � � ，� = � � ，� ∈ �, � ， 则有 �� = �� � + �� � = � ′� � + � ′� � ��。 可求弧长 �� = � � + �� − � �
曲率Tu我们将用曲率来描述曲线的弯曲程度。曲线的切线方向沿曲线的变化，显示了曲线的弯曲，而这一变化的快慢，则显示了曲线的弯曲程度。，y-f()MAa设曲线C上的孤MM'的弧长为IAsl，Asb副告而在该段弧上，其切线的方向变化了△α，MMos[Aα]α+Aa则称为弧MM'的平均曲率，0X[4s]O[Aα]若极限 lim存在，则称为曲线C在点M的曲率，4s-=0 [4slIdα]αl记为 K(M) = limIds°4s-0 [Asl
6 曲率 我们将用曲率来描述曲线的弯曲程度。 曲线的切线方向沿曲线的变化，显示了曲线的弯曲， 而这一变化的快慢，则显示了曲线的弯曲程度。 设曲线 � 上的弧 ��′ 的弧长为 �� ， 而在该段弧上，其切线的方向变化了 �� ， 则称 �� �� 为弧 ��′ 的平均曲率， 若极限 lim ��→� �� �� 存在，则称为曲线 � 在点 � 的曲率， 记为 � � = lim ��→� �� �� = �� ��