线性代数教案第五章相似矩阵及二次型85.1向量的内积定义1.内积：设实向量α=（a,,az,a），β=（b,b,,b），称实数[α,]=a,b+a,b,+.+a,b,为α与β的内积.算律：α=(a,a,"a.),β=(b,b,",b),=(c,C2,"c.)(1) [α,β]=[β,α](2)[kα,β]=k[α,β]（k为常数)(3) [α+β,]=[α,]+[β,](4) α±时,[α,α]>0;α=时,[α,α]=0(5) [α,β≤[α,α]·[β,β]证(5)teR，由[α+tβ,α+t]≥0可得[α,α]+2[α,β]t+[β,β]t? ≥ 0≤0 = 4[α,}-4[α,α]·[β,β]≤0=[α,]’≤[α,α][β,β]2.范数：设实向量α，称实数α=α,α]为α的范数性质：（1)α±时，α>0；α=时，α=0(2) [kα =[K-[α(VkeR)(3) [α+β≤+[B(4) [lal-≤[α-β证(3) α+β=[α+β,α+β]=[α,α]+2[α,β]+[β,β]≤ +2/+ = (+)证(4)=α-β=α=β+,β=α+(-)≤+=α-B≤1
线性代数教案 1 第五章 相似矩阵及二次型 §5.1 向量的内积 定义 1.内积：设实向量 ( , , , ) = a1 a2 a n , ( , , , ) = b1 b2 b n , 称实数 = a1b1 + a2b2 ++ a n b n [,] 为 与 的内积． 算律： ( , , , ) = a1 a2 a n , ( , , , ) = b1 b2 b n , ( , , , ) 1 2 n = c c c (1) [,] = [,] (2) [k,] = k[,] （ k 为常数） (3) [ + , ] = [, ] +[, ] (4) 时, [,] 0 ； = 时, [,] = 0 ． (5) [ , ] [ , ] [ , ] 2 证(5) t R , 由 [ + t, + t] 0 可得 [ , ] 2[ , ] [ , ] 0 2 + t + t 0 4[ , ] 4[ , ] [ , ] 0 2 − [ , ] [ , ] [ , ] 2 2．范数：设实向量 , 称实数 = [,] 为 的范数． 性质：(1) 时, 0 ； = 时, = 0 ． (2) k = k (k R) (3) + + (4) − − 证(3) [ , ] [ , ] 2[ , ] [ , ] 2 + = + + = + + ( ) 2 2 2 + 2 + = + 证(4) = − = + , = + (− ) + −
线性代数教案B≤α+-=α-B≥-[α,β]（0≤≤）为α与β之间3.夹角：设实向量α±β±，称Φ=arccosal/ l的夹角。正交：若[α,β]=0，称α与β正交，记作αβ(1)α0,β0时,αβ=:2(2)α=或β=时，αβ有意义，而无意义.1单位化：若α，称α。=α为与α同方向的单位向量.α定义2当(α,)=0时，称向量α与β正交。（显然，若α=0，则α与任何向量都正交）。向量的正交性可推广到多个向量的情形.定义3.已知m个非零向量m，若(α,）=0（j=1,2,…m，则称，α2",α为正交向量组.定义4若向量组，m为正交向量组，且1，=1,2…m，则称，2，为标准正交向量组.例如，n维单位向量组-1,00)，=0,1,,0)，…，=（0,0,,1)是正交向量组，正交向量组有下述重要性质：定理1正交向量组，α2α*是线性无关的向量组.定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组。4.正交基：设向量空间V的基为α,",α,，若[α,α,]=0（i+j)，称α,"",α,为V的正交基；若还有α=1(i=1,2,…,r),称α,",α,为V的标准正交基例如：R"的标准正交基为e.,e..特点：向量空间V的正交基为α,"αr，对于VαeV，有[α,α,](i=1,2,.,r)α=xa,+..+xa,:x, [α,α,]当α,,α,为标准正交基时，有α=xα,+..+x,α,: x, =[α,α,1 (i=1,2,,r)6.Schmidt正交化过程：2
线性代数教案 2 + (− ) − − 3．夹角：设实向量 , , 称 [ , ] = arccos ( 0 ) 为 与 之间 的夹角． 正交：若 [, ] = 0 , 称 与 正交, 记作 ⊥ ． (1) , 时, ⊥ 2 = ； (2) = 或 = 时, ⊥ 有意义, 而 无意义． 单位化：若 , 称 1 0 = 为与 同方向的单位向量． 定义 2. 当 =0 时，称向量 与 正交．（显然，若 =0，则 与任何向量都正交）． 向量的正交性可推广到多个向量的情形. 定义 3. 已知 个非零向量 ，若 =0 ，则称 为正交向量组． 定义 4. 若向量组 为正交向量组，且| |=1 ，则称 为标准正交向量组． 例如， 维单位向量组 = ， ， 是正交向量组． 正交向量组有下述重要性质： 定理 1 正交向量组 是线性无关的向量组． 定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化 过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组． 4．正交基：设向量空间 V 的基为 r , , 1 , 若 [ , ] 0 (i j) i j = , 称 r , , 1 为 V 的 正交基；若还有 1 (i 1,2, ,r) i = = ,称 r , , 1 为 V 的标准正交基． 例如： n R 的标准正交基为 n e , ,e 1 ． 特点：向量空间 V 的正交基为 r , , 1 , 对于 V , 有 r r = x11 ++ x ： ( 1,2, , ) [ , ] [ , ] x i r i i i i = = 当 r , , 1 为标准正交基时, 有 r r = x11 ++ x ： x [ , ] (i 1,2, ,r) i = i = 6．Schmidt 正交化过程：
线性代数教案定理2设向量组,α2,αm线性无关，由此可作出含有m个向量的正交向量组B.B,Bm，其中,B=Ci,(a)B=a(B,A)(am,P)(am, Bml)(cCm.B)Bu-)Bm=Cm(B,P)(B,B)(Pm-1,Pm-1)再取A办(i = 1,2,...,m)[&]则1,72,,7*为标准正交向量组.上述从线性无关向量组，,导出正交向量组，，P的过程称为施密特（Schimidt）正交化过程。它不仅满足，B，，B与，αaαm等价，还满足：对任何(1≤k≤m)，向量组B与2…等价.设向量空间V的基为α,α,，令β, +0β,=α,β,=α,+k,β，β,0（否则α,α,线性相关）[α2, β,][β,β] = 0= k, =- [β,β,]β=α,+β,+k,β，β,0（否则α,αα,线性相关）[B,B] = 0 = k, =- [α,β][β,,β][B,β,] =0 = k, =-[α,β][β,,β,]β,=α,+k.r-β +...+k.β, β +0（否则α，,α线性相关）[B,β,]=0 = k, =-[α,β](Gj =1,2,..,r-1)[β,β]结论：β,β,β两两正交且非零=β,β…β线性无关=β,β2,,β,是V的正交基3
线性代数教案 3 定理 2 设向量组 线性无关，由此可作出含有 个向量的正交向量组 ，其中， ， ， . . 再取 则 为标准正交向量组． 上述从线性无关向量组 导出正交向量组 的过程称为施密 特（Schimidt）正交化过程．它不仅满足 与 等价，还满足：对任 何 ，向量组 与 等价． 设向量空间 V 的基为 r , , 1 , 令 1 =1 , 1 0 2 2 211 = + k , 2 0 （否则 1 2 , 线性相关） [ , ] [ , ] [ , ] 0 1 1 2 1 2 1 21 = k = − 3 3 32 2 311 = + k + k , 3 0 （否则 1 2 3 , , 线性相关） [ , ] [ , ] [ , ] 0 1 1 3 1 3 1 31 = k = − [ , ] [ , ] [ , ] 0 2 2 3 2 3 2 32 = k = − . r r r,r 1 r 1 r11 = + k + + k − − , r 0 （否则 r , , 1 线性相关） ( 1,2, , 1) [ , ] [ , ] [ , ] = 0 k = − j = r − j j r j r j rj 结论： r , , , 1 2 两两正交且非零 r , , , 1 2 线性无关 r , , , 1 2 是 V 的正交基
线性代数教案-=令u，则uu,,u是V的标准正交基O例1把向量组α=（1，1，0，0），α=（1，0，1，0），α3=（-1，0，0，1）化为标准正交向量组容易验证1，α2，3是线性无关的，解将，α，α正交化，令@ =α1=(1,1,0,0)(ag,R)1B=α(1,0,1,0)(1,1,0,0)1,0(B.B)22(a,P)B-(cs,B)0nB=cs(8,8)(B,B)北,1.1)(1,1,0,0)(,1.0=1,0,0,)-(一，2223111331（再把，B单位化A111(1,1,0,0) =,0,0)71=18/2J22112B2-1￥11,1,0) =,0)2F2J6661821V2113B11111333,1)=(n34232/32321&1则71,72,73即为所求的标准正交向量组。定理3若，α2",α是n维正交向量组，<n，则必有n维非零向量X，使a,α2,"α，X成为正交向量组.例2已知α,=(1,1)，求一组非零向量，%，使，，成为正交向量组，应满足方程=0，即解X+X+=0它的基础解系为10Si =0-1把基础解系正交化，即为所求。亦即取a=,g=52(5,S)4
线性代数教案 4 令 j j u j 1 = , 则 u u u r , , , 1 2 是 V 的标准正交基 例 1 把向量组 =（1，1，0，0）， =（1，0，1，0）， =（-1，0，0，1）化为标准 正交向量组． 解 容易验证 ， ， 是线性无关的. 将 ， ， 正交化，令 = ， = ， 再把 单位化 ， 则 即为所求的标准正交向量组． 定理 3 若 是 维正交向量组， ，则必有 维非零向量 ，使 ， 成为正交向量组． 例 2 已知 T (1,1,1) 1 = ，求一组非零向量 ，使 ， ， 成为正交向量组. 解 应满足方程 =0，即 . 它的基础解系为 把基础解系正交化，即为所求．亦即取
线性代数教案其中(2,)=1,(,)=2,于是得14[,=11-12推论含有r个（r<n）向量的n维正交（或标准正交）向量组，总可以添加一r个n维非零向量，构成含有个向量的维正交向量组，例3已知向量空间V的基为α,=(1,1,0,0)，α,=(1,0,1,0)，α,=(-1,0,0,1)求V3的一组正交基解β =α =(1,1,0,0)11)β, =(,1,0β, =α, +k,β =α, +(-(22111I β, +β,=(-β,=α,+kβ,+kβ,=α,+3'3'332故V的一组正交基为β,β,β.定义5如果n阶矩阵A满足AA=E（即A-=A），那么称A为正交矩阵.正交矩阵具有如下性质：（1）矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A-1=A"：（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵：（3）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵：（4）正交矩阵是满秩的，且-A|=1或-1.由等式AFA=E可知，正交矩阵4=ag）的元素满足关系式[1, i=jA[1 i=jZauak=Zanag=[0, i+j[0, i+j(其中,j=12,,n)-可见正交矩阵任意不同两行（列）对应元素乘积之和为0，同一行（列）元素的平方和为1，因此正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然：于是有定理4一个"阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（或列）向量组是一个标准正交向量组.思考与作业：习题五P138:1,2,385.2矩阵的特征值和特征向量定义1对于n阶方阵A，若有数入和向量x≠0满足Ax=入x，称为A的特征值，称x为A的属于特征值入的特征向量，特征方程：Ax=2x(A-E)x=0或者（aE-A)x=0(A-E)x=0有非零解det(A-^E)=05
线性代数教案 5 其中 于是得 推论 含有 个（ ）向量的 维正交（或标准正交）向量组，总可以添加 个 维 非零向量，构成含有 个向量的 维正交向量组． 例 3 已知向量空间 3 V 的基为 (1,1,0,0) 1 = , (1,0,1,0) 2 = , ( 1,0,0,1) 3 = − 求 3 V 的一组正交基． 解 (1,1,0,0) 1 =1 = ,1,0) 2 1 , 2 1 ) ( 2 1 ( 2 = 2 + k211 = 2 + − 1 = − ,1) 3 1 , 3 1 , 3 1 ( 2 1 3 1 3 = 3 + k32 2 + k311 = 2 + 2 + 1 = − 故 3 V 的一组正交基为 1 2 3 , , ． 定义 5 如果 阶矩阵 满足 （即 ），那么称 为正交矩阵． 正交矩阵具有如下性质： （1）矩阵 为正交矩阵的充分必要条件是 ； （2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵； （3）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵； （4）正交矩阵是满秩的，且| =1 或 ． 由等式 可知，正交矩阵 的元素满足关系式 （其中 ） 可见正交矩阵任意不同两行（列）对应元素乘积之和为 0，同一行（列）元素的平方 和为 1，因此正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然．于是有 定理 4 一个 阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（或列）向量组是一个标准正交 向量组． 思考与作业：习题五 P138:1, 2, 3 §5.2 矩阵的特征值和特征向量 定义 1 对于 n 阶方阵 A , 若有数 和向量 x 0 满足 Ax = x , 称 为 A 的特征值, 称 x 为 A 的属于特征值 的特征向量． 特征方程： Ax = x (A− E)x = 0 或者 (E − A)x = 0 (A − E)x = 0 有非零解 det(A − E) = 0