目录微分中值定理洛必达法则泰勒公式及应用利用导数研究函数性态平面曲线的曲率5方程的近似解4
5 目录 3 泰勒公式及应用
泰勒公式aTur一假设函数fx）在xo某邻域Uxo,）内有定义，且充分光滑。在此邻域上，有近似函数f(x)～ Po(x)=f(xo),且误差为o(1)，当x→xo时。已知 f(x) =f(xo) +f'(xo)(x - xo) + o(x -xo),有近似函数f(x) ~ Pi(x) =f(xo) +f(xo)(x-xo)其误差为 o(x-xo)，当 x→ xo时,函数f(x)与Pi(x)均过点(xo,f(xo))，且切线斜率（导数）相等
6 泰勒公式 已知 � � = � �� + � ′ �� � − �� + � � − �� ， 假设函数 � � 在 �� 某邻域 � ��, � 内有定义，且充分光滑。 在此邻域上，有近似函数 � � ≈ �� � = � �� ， 且误差为 � � ，当 � → �� 时。 有近似函数 � � ≈ �� � = � �� + � ′ �� � − �� ， 其误差为 � � − �� ，当 � → �� 时， 函数 � � 与 �� � 均过点 ��, � �� ，且切线斜率（导数）相等
泰勒公式STU问题是否能找到更高阶的多项式，来更好的拟合函数f(x)？猜测可通过高阶导数相等的性质来实现。分两步来验证猜测。第一步：找到n次多项式Pn(x)，满足 P(lk) (xo) = f(k)(xo) (k = 0, 1,,n);第二步: 证明f(x)一Pn(x) = o((x 一xo)")
7 泰勒公式 分两步来验证猜测。 第一步：找到 � 次多项式 �� � ， 第二步：证明 � � − �� � = � � − �� � 。 问题 是否能找到更高阶的多项式，来更好的拟合函数 � � ？ 猜测 可通过高阶导数相等的性质来实现。 满足 �� � �� = � � �� � = �, �, ⋯, � ；
泰勒公式第一步：找n次多项式Pn(αx)。设Pn(x) =ao +ai(x-xo) +.+an(x-xo)n,(k+1)I (x - xo) + . + an (n-k) n.(x-xo)n-k则 P(k (x) = axk! +ak+11!则 p(k (xo) = akk!, k = 0, 1,",n,((xo), k = 0, 1, *", n,所以, akk! = f(k)(xo), ak =k!即 P,(x) = f(x0) + "'c (x - x0) ( (x - x0)"1!n!f()(x0) (x - x0)k。= ZR=0k!称多项式Pn(x)为函数f(x)在xo处的n阶泰勒多项式
8 泰勒公式 第一步：找 � 次多项式 �� � 。 设 �� � = �� + �� � − �� + ⋯ + �� � − �� � ， 则 �� � � = ���! + ��+� �+� ! �! � − �� + ⋯ + �� �! �−� ! � − �� �−� ， 则 �� � �� = ���!，� = �, �, ⋯, �， 所以，���! = � � �� ，�� = � � �� �! ，� = �, �, ⋯, �， 即 �� � = � �� + � ′ �� �! � − �� + ⋯ + � � �� �! � − �� � = �=� � � � �� �! � − �� � 。 称多项式 �� � 为函数 � � 在 �� 处的 � 阶泰勒多项式
泰勒公式第二步: 证明f(x)一Pn(x) =o((x一xo)n)。定理（泰勒定理1）设函数f(x)在xo的邻域内有定义，在xo 处有n阶导数，则 f(x) = f(x0) + 'c (x - xo) + "(c0 (x - xo)2 + +1!2!f(n)(xo)2(x - xo)n + o(x - xo)"),1n!()(x0) (x - x0) + o(x - x0)")。亦为 f(x) = ZK=0k!此公式称为带佩亚诺余项的n阶泰勒公式
9 泰勒公式 第二步：证明 � � − �� � = � � − �� � 。 定理（泰勒定理 1） 设函数 � � 在 �� 的邻域内有定义，在 �� 处有 � 阶导数， 则 � � = � �� + � ′ �� �! � − �� + � ′′ �� �! � − �� � + ⋯ + + � � �� �! � − �� � + � � − �� � ， 亦为 � � = �=� � � � �� �! � − �� � + � � − �� � 。 此公式称为带佩亚诺余项的 � 阶泰勒公式