第四章向量组的线性相关性1.设v，求V1-V2及301+202-V3解：)-(9)-(1-1U12103×1+2×0-3(0)(-(0-(3×1+2×1-4301 +202 - 03 =8×0+2×1-2.设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a),求a,其中10251a2 =a151103解: 由 3(a1 - a) + 2(a2 + a) = 5(a3 + a) 得210512+(3a1+2a2-5a3)=13125131033.已知向量组2301A: a1B: b1ba30212312证明B组能由A组线性表示，但A组不能由B组线性表示.证明：要证B组能由A组线性表示，由P.85定理2，即要证矩阵A=（a1,a2,a3）的秩等于矩阵(A,B)=(a1,a2,a3,b1,b2,b3)的秩.由332.2002104-031-24103243=2(A, B) :0.11015-716-911232232115252003-215.3-24.0165-7(53-6'-70045-1135041100010000可见,R(A)=R(A,B)=3.因此,B组能由A组线性表示48
第四章 向量组的线性相关性 1 . 设 v1 = 1 1 0 , v2 = 0 1 1 , v3 = 3 4 0 , 求 v1 − v2 及 3v1 + 2v2 − v3. 解: v1 − v2 = 1 1 0 − 0 1 1 = 1 − 0 1 − 1 0 − 1 = 1 0 −1 , 3v1 + 2v2 − v3 = 3 1 1 0 + 2 0 1 1 − 3 4 0 = 3 × 1 + 2 × 0 − 3 3 × 1 + 2 × 1 − 4 3 × 0 + 2 × 1 − 0 = 0 1 2 . 2 . 设 3(a1 − a) + 2(a2 + a) = 5(a3 + a), 求 a, 其中 a1 = 2 5 1 3 , a2 = 10 1 5 10 , a3 = 4 1 −1 1 . 解: 由 3(a1 − a) + 2(a2 + a) = 5(a3 + a) 得 a = 1 6 (3a1 + 2a2 − 5a3) = 1 2 2 5 1 3 + 1 3 10 1 5 10 − 5 6 4 1 −1 1 = 1 2 3 4 . 3 . 已知向量组 A : a1 = 0 1 2 3 , a2 = 3 0 1 2 , a3 = 2 3 0 1 ; B : b1 = 2 1 1 2 , b2 = 0 −2 1 1 , b3 = 4 4 1 3 . 证明 B 组能由 A 组线性表示, 但 A 组不能由 B 组线性表示. 证明: 要证 B 组能由 A 组线性表示, 由 P.85 定理 2, 即要证矩阵 A = (a1, a2, a3) 的秩等于矩阵 (A, B) = (a1, a2, a3, b1, b2, b3) 的秩. 由 (A, B) = 0 3 2 2 0 4 1 0 3 1 −2 4 2 1 0 1 1 1 3 2 1 2 1 3 r3 − 2r2 r^4 − 3r2 0 3 2 2 0 4 1 0 3 1 −2 4 0 1 −6 −1 5 −7 0 2 −8 −1 7 −9 r1 − 3r3 r^4 − 2r3 0 0 20 5 15 25 1 0 3 1 −2 4 0 1 −6 −1 5 −7 0 0 4 1 3 5 ^ 1 0 3 1 −2 4 0 1 −6 −1 5 −7 0 0 4 1 3 5 0 0 0 0 0 0 , 可见, R(A) = R(A, B) = 3, 因此, B 组能由 A 组线性表示. 48
49线性代数（同济四版）习题参考答案又041-24-331B =-001213000可见R(B)=2.而R(A)=3,所以A组不能由B组线性表示.（因为若A组能由B组线性表示，则R(A)≤R(B).见教材P.86定理3.)4.已知向量组A: a1B: bi :0证明A组与B组等价证明：方法与教材P.86例2相同.下证R(A)=R(B)=R(A,B)0310?(A, B) =02-02-001101-11所以R(A)=R(A,B)=2.又由上述初等变换知B~200000可见R(B)=2.得到R(A)=R(B)=R(A,B).即证A组与B组等价另证.易见bi= ai-a2, b2= ai+a2, b3=-ai+3a2,及(b1+b2),a2 :11b1)(62知A组与 B组等价5.己知R(a1,2,a3)=2,R(a2,a3,a4)=3,证明(1)ai能由a2,a3线性表示;(2)a4不能由ai,a2,a3线性表示证明：(1)由R(a2,a3,a4)=3,知a2,a3,a4线性无关.从而向量组a2,as线性无关（整体无关则部分也无关.见P.90定理5(1)又R(a1,a2,a3)=2<3,所以向量组a1,a2,a3线性相关.由P.90定理5(3)知a1能由a2,a3线性表示.(2)假设a4能由a1,a2,a3线性表示.已证a1能由a2,a3线性表示，所以a4能由a2a3线性表示这与R(a2,a3,a)=3矛盾得证a不能由a1,a2,a3线性表示6.判定下列向量组是线性相关还是线性无关()00)() (3) (6)21)
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 49 又 B = 2 0 4 1 −2 4 1 1 1 2 1 3 r1 − 2r3 ^r2 − r3 r4 − 2r3 0 −2 2 0 −3 3 1 1 1 0 −1 1 ^ 1 1 1 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 , 可见 R(B) = 2. 而 R(A) = 3, 所以 A 组不能由 B 组线性表示. (因为若 A 组能由 B 组线性表示, 则 R(A) 6 R(B). 见教材 P.86 定理 3.) 4 . 已知向量组 A : a1 = 0 1 1 , a2 = 1 1 0 ; B : b1 = −1 0 1 , b2 = 1 2 1 , b3 = 3 2 −1 , 证明 A 组与 B 组等价. 证明: 方法与教材 P.86 例 2 相同. 下证 R(A) = R(B) = R(A, B). (A, B) = 0 1 −1 1 3 1 1 0 2 2 1 0 1 1 −1 r2 − r1 − r3 ^ 0 1 −1 1 3 0 0 0 0 0 1 0 1 1 −1 ^ 1 0 1 1 −1 0 1 −1 1 3 0 0 0 0 0 , 所以 R(A) = R(A, B) = 2. 又由上述初等变换知 B ∼ 1 1 −1 −1 1 3 0 0 0 r2 + r1 ^ 1 1 −1 0 2 2 0 0 0 , 可见 R(B) = 2. 得到 R(A) = R(B) = R(A, B). 即证 A 组与 B 组等价. 另证. 易见 b1 = a1 − a2, b2 = a1 + a2, b3 = −a1 + 3a2, 及 a1 = 1 2 (b1 + b2), a2 = 1 2 (b2 − 1 2 b1). 知 A 组与 B 组等价. 5 . 已知 R(a1, a2, a3) = 2, R(a2, a3, a4) = 3, 证明 (1) a1 能由 a2, a3 线性表示; (2) a4 不能由 a1, a2, a3 线性表示. 证明: (1) 由 R(a2, a3, a4) = 3, 知 a2, a3, a4 线性无关. 从而向量组 a2, a3 线性无关 (整体无关则部分 也无关. 见 P.90 定理 5(1)). 又 R(a1, a2, a3) = 2 < 3, 所以向量组 a1, a2, a3 线性相关. 由 P.90 定理 5(3) 知 a1 能由 a2, a3 线性表 示. (2) 假设 a4 能由 a1, a2, a3 线性表示. 已证 a1 能由 a2, a3 线性表示, 所以 a4 能由 a2, a3 线性表示. 这与 R(a2, a3, a4) = 3 矛盾. 得证 a4 不能由 a1, a2, a3 线性表示. 6 . 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) −1 3 1 , 2 1 0 , 1 4 1 ; (2) 2 3 0 , −1 4 0 , 0 0 2
50第四章向量组的线性相关性解：(1)因为()()~(C00可见R(A)=2.所以该向量组是线性相关的或者：由(3) (3)-(0)知线性相关(2) 因为2B34011 0020200可见R(B)=3.所以该向量组是线性无关的7问a取什么值时下列向量组线性相关？,a3a1.a=解：向量组a1,a2a线性相关的充要条件是R(a1,a2,a3)<3,即[A|=0,这里A=(a1,a2,a3).由1 - α210a+l1a[A| =1.0a+1 (a + 1)2(a - 2)C-1-11a1-1所以,a=-1或a=2时向量组线性相关更常规的思路是：向量组a1.a2;a3线性相关，则存在不全为零的数k1.k2,k3使得kia1+k2a2+k3a3=0.即线性方程组T11+F202+T303=0有非零解.所以|A|=0,这里A=(a1,a2,a3).同前面的方法，得到α的值.8.设a1,a2线性无关，a1+ba2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式解：设b=k1a1+k2a2.由a1+b,a2+b线性相关，则存在不全为零的x1，2使得1(a1 + b) + #2(a2 + b) = 0.代入b=kiat+k2a2，得(4.1)[r1(ki +1) +2ki]a1 +[1k2 + 2(k2 +1]a2= 0由ai,a2线性无关，得[i(ki +1) +2ki = 0(4.2)ik2 + T2(k2 + 1) = 0
50 第四章 向量组的线性相关性 解: (1) 因为 A = −1 2 1 3 1 4 1 0 1 r2 + 3r1 ^r3 + r1 −1 2 1 0 7 7 0 2 2 ^ −1 2 1 0 1 1 0 0 0 , 可见 R(A) = 2, 所以该向量组是线性相关的. 或者: 由 −1 3 1 + 2 1 0 = 1 4 1 , 知线性相关. (2) 因为 B = 2 −1 0 3 4 0 0 0 2 r2 × 2 − 3r1 ^ 2 −1 0 0 11 0 0 0 2 , 可见 R(B) = 3, 所以该向量组是线性无关的. 7 . 问 a 取什么值时下列向量组线性相关? a1 = a 1 1 , a2 = 1 a −1 , a3 = 1 −1 a . 解: 向量组 a1, a2, a3 线性相关的充要条件是 R(a1, a2, a3) < 3, 即 |A| = 0, 这里 A = (a1, a2, a3). 由 |A| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 1 1 1 a −1 1 −1 a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r1−ar3 ====== r2−r3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 a + 1 1 − a 2 0 a + 1 −1 − a 1 −1 a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (a + 1)2 (a − 2). 所以, a = −1 或 a = 2 时向量组线性相关. 更常规的思路是: 向量组 a1, a2, a3 线性相关, 则存在不全为零的数 k1, k2, k3 使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0. 即线性方程组 x1a1 + x2a2 + x3a3 = 0. 有非零解. 所以 |A| = 0, 这里 A = (a1, a2, a3). 同前面的方法, 得到 a 的值. 8 . 设 a1, a2 线性无关, a1 + b, a2 + b 线性相关, 求向量 b 用 a1, a2 线性表示的表示式. 解: 设 b = k1a1 + k2a2. 由 a1 + b, a2 + b 线性相关, 则存在不全为零的 x1, x2 使得 x1(a1 + b) + x2(a2 + b) = 0. 代入 b = k1a1 + k2a2, 得 £ x1(k1 + 1) + x2k1 ¤ a1 + £ x1k2 + x2(k2 + 1)¤ a2 = 0. (4.1) 由 a1, a2 线性无关, 得 ( x1(k1 + 1) + x2k1 = 0, x1k2 + x2(k2 + 1) = 0. (4.2)
51线性代数（同济四版）习题参考答案要使1，T2不全为零，则方程组（4.2）中系数行列式为零，即ki +1kiki+k2+1=0.k2k2 + 1所以b= kia1 + k2a2 = kia1 -(1 + ki)a2,或者记为b=ca1-(1+c)a2, (cER)9.设a1,a2线性相关,b1,b2也线性相关，问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之解：不一定.比如取b得a1+bi此时a1,a2线性相关，b1,b2也线性相关，但是a1+b1,a2+b2是线性无关的.10.举例说明下列各命题是错误的：(1)若向量组a1,a2,.am是线性相关的，则at可由a2，，am线性表示(2)若有不全为0的数入1，入2，…，入m使Aiai+..+Amam+)bi+...+入mbm=0成立，则a1….，am线性相关，bi....，bm亦线性相关.(3)若只有当入1，入2，，入m全为0时，等式Aia1+...+mam+ibi+...+>mbm=0才能成立，则a1,·.，am线性无关，b1，，bm亦线性无关.(4)若a1.，am线性相关，bi，，bm亦线性相关，则有不全为0的数入1，入2，，入m使iai+...+入mam=0,1ibi+...+入mbm=0同时成立.解：(1)设a1=e1=(1,0,0,...,0)02=a3=...=am=0,满足a1,a2,..am线性相关，但a1不能由a2,..，am线性表示(2)由有不全为零的数入1，入2，·…，入m使(4.3)Aiai+...+Amam+)ibi+..+Ambm=0,上式可化为Ai(a1 + bi) + .. + 入m(am +bm)= 0.(4.4)
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 51 要使 x1, x2 不全为零, 则方程组 (4.2) 中系数行列式为零, 即 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k1 + 1 k1 k2 k2 + 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = k1 + k2 + 1 = 0. 所以 b = k1a1 + k2a2 = k1a1 − (1 + k1)a2, 或者记为 b = ca1 − (1 + c)a2, (c ∈ R). 9 . 设 a1, a2 线性相关, b1, b2 也线性相关, 问 a1 + b1, a2 + b2 是否一定线性相关? 试举例说明之. 解: 不一定. 比如取 a1 = Ã 1 0 ! , a2 = Ã 2 0 ! , b1 = Ã 0 3 ! , b2 = Ã 0 4 ! , 得 a1 + b1 = Ã 1 3 ! , a2 + b2 = Ã 2 4 ! , 此时 a1, a2 线性相关, b1, b2 也线性相关, 但是 a1 + b1, a2 + b2 是线性无关的. 10 . 举例说明下列各命题是错误的: (1) 若向量组 a1, a2, · · · , am 是线性相关的, 则 a1 可由 a2, · · · , am 线性表示. (2) 若有不全为 0 的数 λ1, λ2, · · · , λm 使 λ1a1 + · · · + λmam + λ1b1 + · · · + λmbm = 0 成立, 则 a1, · · · , am 线性相关, b1, · · · , bm 亦线性相关. (3) 若只有当 λ1, λ2, · · · , λm 全为 0 时, 等式 λ1a1 + · · · + λmam + λ1b1 + · · · + λmbm = 0 才能成立, 则 a1, · · · , am 线性无关, b1, · · · , bm 亦线性无关. (4) 若 a1, · · · , am 线性相关, b1, · · · , bm 亦线性相关, 则有不全为 0 的数 λ1, λ2, · · · , λm 使 λ1a1 + · · · + λmam = 0, λ1b1 + · · · + λmbm = 0 同时成立. 解: (1) 设 a1 = e1 = (1, 0, 0, · · · , 0), a2 = a3 = · · · = am = 0, 满足 a1, a2, · · · , am 线性相关, 但 a1 不能由 a2, · · · , am 线性表示. (2) 由有不全为零的数 λ1, λ2, · · · , λm 使 λ1a1 + · · · + λmam + λ1b1 + · · · + λmbm = 0, (4.3) 上式可化为 λ1(a1 + b1) + · · · + λm(am + bm) = 0. (4.4)
52第四章向量组的线性相关性取a1 = -bi = e1, a2 = -b2=e2, ..-, am = -bm = em,其中e1..，em为单位向量，则（4.4)式成立，而a1，...，am线性无关，b1，，bm亦线性无关(3）由仅当入1，入2，*.，入m全为0时，1ia1+...+Amam+1ibi+..+入mbm=0,得ai+b1,a2+b2，am+bm线性无关取1=02=.=am=0，取b1，，bm为线性无关组，满足以上条件.但不能说a1，a2，…，am是线性无关的.(4) 取 a1 = (1, 0)T, a2 = (2, 0)T, b1 = (0, 3)T, b2 = (0, 4)T,1a1 + 2a2= 0→ 入1=-2)2→ 入1 = 入2 = 0.b+2b2=0=2与题设矛盾1.设b=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组bi,b2,b3,by线性相关证明：设有1,T2，T3，14使得(4.5)11b1+22b2+3b3+4b4=0则 1(a1+a2) + 2(a2 +a3)+3(a3 +a4) + 4(a4+a1)=0, 即(4.6)(+)1+(+2)2+(2+)+(+)=0(a)若a1a2,a3a线性相关，则（4.6)式中i+4,+±2,±2+3,3+不全为零从而±1，±2，34不全为零，即b1,b2,b3,bh线性相关(b)若a1,a2,a3,a4线性无关，则（4.6)式中1+4=0,1 +2 = 0,(4.7)32+ 3=0,13+14=0.由0011100001100011知齐次方程组（4.7）存在非零解.从而存在不全为零的数1，2，3，4使得（4.5)式成立，即b1，b2,b3,b4线性相关综上得证上述证明只是一个一般思路，其实这个题用一句话就可以证明了：因为b1=b2-b3+b4,所以b1,b2,b3,b4线性相关12设bi=a1,b2=a1+a2，…b,=a+a2+…+ar，且向量组a1,a2,…，a,线性无关，证明向量组b1,b2，，b，线性无关
52 第四章 向量组的线性相关性 取 a1 = −b1 = e1, a2 = −b2 = e2, · · · , am = −bm = em, 其中 e1, · · · , em 为单位向量, 则 (4.4) 式成立, 而 a1, · · · , am 线性无关, b1, · · · , bm 亦线性无关. (3) 由仅当 λ1, λ2, · · · , λm 全为 0 时, λ1a1 + · · · + λmam + λ1b1 + · · · + λmbm = 0, 得 a1 + b1, a2 + b2, · · · , am + bm 线性无关. 取 a1 = a2 = · · · = am = 0, 取 b1, · · · , bm 为线性无关组, 满足以上条件. 但不能说 a1, a2, · · · , am 是 线性无关的. (4) 取 a1 = (1, 0)T, a2 = (2, 0)T, b1 = (0, 3)T, b2 = (0, 4)T, λ1a1 + λ2a2 = 0 ⇒ λ1 = −2λ2 λ1b1 + λ2b2 = 0 ⇒ λ1 = − 3 4 λ2 ) ⇒ λ1 = λ2 = 0. 与题设矛盾. 11 . 设 b1 = a1 + a2, b2 = a2 + a3, b3 = a3 + a4, b4 = a4 + a1, 证明向量组 b1, b2, b3, b4 线性相关. 证明: 设有 x1, x2, x3, x4 使得 x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 = 0, (4.5) 则 x1(a1 + a2) + x2(a2 + a3) + x3(a3 + a4) + x4(a4 + a1) = 0, 即 (x1 + x4)a1 + (x1 + x2)a2 + (x2 + x3)a3 + (x3 + x4)a4 = 0. (4.6) (a) 若 a1, a2, a3, a4 线性相关, 则 (4.6) 式中 x1 + x4, x1 + x2, x2 + x3, x3 + x4 不全为零. 从而 x1, x2, x3, x4 不全为零, 即 b1, b2, b3, b4 线性相关. (b) 若 a1, a2, a3, a4 线性无关, 则 (4.6) 式中 x1 + x4 = 0, x1 + x2 = 0, x2 + x3 = 0, x3 + x4 = 0. (4.7) 由 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0, 知齐次方程组 (4.7) 存在非零解. 从而存在不全为零的数 x1, x2, x3, x4 使得 (4.5) 式成立, 即 b1, b2, b3, b4 线性相关. 综上得证. 上述证明只是一个一般思路. 其实这个题用一句话就可以证明了: 因为 b1 = b2 − b3 + b4, 所以 b1, b2, b3, b4 线性相关. 12 . 设 b1 = a1, b2 = a1 + a2, · · · , br = a1 + a2 + · · · + ar, 且向量组 a1, a2, · · · , ar 线性无关, 证明向 量组 b1, b2, · · · , br 线性无关