目录导数的概念微分导数微分运算隐函数参数方程求导导数应用5高阶导数6
2 目录
导数几个求导数的例子：(x2)= 2x。例例(sinx)' = cosx。1xsin0x例设f(x)求f'(0)。=X(o,x = 0,1(x2sinj,x + 0,例设f(x)X求f'(O)。(o,x = 0,例隐函数方程2arctan(yx)= 2x一y，求y'(x)
3 导数 例 � � ′ = ��。 几个求导数的例子： 例 𝐬�� ′ = 𝐜��。 例 设 � � = �𝐬� � � , � ≠ �, �, � = �, 求 �′ � 。 例 设 � � = � �𝐬� � � , � ≠ �, �, � = �, 求 �′ � 。 例 隐函数方程 �𝐚𝐫�� � − � = �� − �，求 � ′ �
导数的由来amurT导数，是从实际问题出发，发展出的一种运算，在变化率相关的各种问题中，发挥着重要的作用。例求物体的瞬时速度。已知以时间为变量的位移函数s(t)，求速度函数v(t)。解先求[to,to+△t]时间段内的平均速度,有 = S(to +A)-sto)， At 越小, Ⅱ 越接近 to 时刻的瞬时速度,3At于是，令△t→0，得到to时刻的瞬时速度v(to)。s(to +At)-s(to), 称 v(t) 是 s(t) 的导函数。因此, 速度函数v(t) =lim AtAt-0
4 例 求物体的瞬时速度。 导数的由来 导数，是从实际问题出发，发展出的一种运算， 在变化率相关的各种问题中，发挥着重要的作用。 已知以时间为变量的位移函数 � � ，求速度函数 � � 。 解 先求 ��, �� + �� 时间段内的平均速度， 有 � = � �� +�� −� �� �� ， 于是，令 �� → �，得到 �� 时刻的瞬时速度 � �� 。 因此，速度函数 � � = 𝐬� ∆�→� � �� +�� −� �� �� ，称 � � 是 � � 的导函数。 �� 越小，� 越接近 �� 时刻的瞬时速度
导数的由来例求曲线的切线。已知函数y二f(x)，求该函数图像在任一点处的切线。解只需求出切线的斜率，先求割线MoM的斜率，y=f(x)M有= [(xo +4x)-f(x0)Ax△xM.再令△x→0，则另一个割点M→Mo，于是得到切线斜率 k= lim f(xo +Ax)-f(xo)XoXo+AxxAx4x-0
5 例 求曲线的切线。 导数的由来 已知函数 � = � � ，求该函数图像在任一点处的切线。 解 只需求出切线的斜率， 有 ∆� ∆� = � �� +∆� −� �� ∆� ， � � � = � � �0 �0 � �0 + ∆� 再令 ∆� → �，则另一个割点 � → ��， 于是得到切线斜率 � = 𝐬� ∆�→� � �� +∆� −� �� ∆� 。 先求割线 ��� 的斜率
导数的定义m定义设函数f(x)在点xo的某邻域中有定义，。记△x=x一xo，Ay=f(x)一f(xo)，分别为自变量与函数的增量。若极限lim=im (x0 +40-1(0)= limL-r() 存在,AxAx-0△x△x-0x-xox→xo则称此极限为函数y=f(x)在xo处的导数或微商，记为f(xo)或，此时称函数f(x)在xo处可导。dxlx=xo定义设函数f(x)在开区间(a,b)上点点可导,则称f(x)在(a,b)上可导，记作f(x) ED(a,b),此时有导函数f(x) 或兴。通常，导函数亦简称为导数。dx
6 定义 设函数 � � 在点 �� 的某邻域中有定义，。 导数的定义 记 �� = � − ��，�� = � � − � �� ，分别为自变量与函数的增量。 若极限 𝐬� ∆�→� ∆� ∆� = 𝐬� ∆�→� � �� +∆� −� �� ∆� = 𝐬� �→�� � � −� �� �−�� 存在， 则称此极限为函数 � = � � 在 �� 处的导数或微商， 记为 �′ �� 或 �� �� �=�� ，此时称函数 � � 在 �� 处可导。 定义 设函数 � � 在开区间 �, � 上点点可导， 则称 � � 在 �, � 上可导，记作 � � ∈ � �, � ， 此时有导函数 �′ � 或 �� �� 。通常，导函数亦简称为导数