极限的定义例利用极限定义来证明：limVx3=2V2。X-2
8 极限的定义 例 利用极限定义来证明：𝐥� �→� � � = � �
极限的定义当x趋于a时，函数f(x)的极限为A，可描述为对>0,S>0,当0<lx-αl<时,有If(x)-A|<。当x趋于a时，实数A不是函数f(x）的极限，可描述为 >0, 8>0, xo Eü(a,8), 使得 If(xo) -Al ≥0。若对VAER，上式均成立，则称当x→a时，函数f(x)发散。例证明lim sin= + 0。xx-0y=sinX4x
9 极限的定义 当 � 趋于 � 时，实数 � 不是函数 � � 的极限，可描述为 ∃ �� > �，∀ � > �，∃ �� ∈ � �, � ，使得 � �� − � ≥ ��。 若对 ∀ � ∈ �，上式均成立，则称当 � → � 时，函数 � � 发散。 ° 例 证明 𝐥� �→� 𝐥� � � ≠ �。 � � � = sin 1 � 对 ∀ � > �，∃ � > �，当 � < � − � < � 时，有 � � − � < �。 当 � 趋于 � 时，函数 � � 的极限为 �，可描述为
极限的定义例证明：limex=1;limlnx = 0。x-0x-1证 对0<<1,lex-1/<1-<ex<1+ ln(1-)<x<ln(1 +),所以, 0<<1, =min (lln(1-)l, ln(1+)),所以，当lxl<8时，lex-11<ε。10
10 极限的定义 例 证明：𝐥� �→� � � = �； 𝐥� �→1 ��� = �。 证 对 ∀ � < � < �， � � − � < � ⟺ � − � < � � < � + � ⟺ �� � − � < � < �� � + � ， 所以，∀ � < � < �，∃ � = 𝐥� �� � − � , �� � + � ， 所以，当 � < � 时， � � − � < �
单侧极限urT函数的极限考虑了自变量从两侧趋向于一点时函数值的变化趋势，若仅考虑一侧，则有单侧极限。定义设函数f(x)在点a的一个右邻域中有定义，若存在实数A,对>0,s>0,使得当a<x<a+时，有If(x)-A<,则称函数f(x)在点a的右极限是A，yt记为 lim f(x)=A 或f(a+O)=A。A+&x→a+y=f(x)A亦可定义左极限，A-8记为 limf(x)=A或f(a-O)=A。4a+sxaX函数的右极限11
11 单侧极限 函数的极限考虑了自变量从两侧趋向于一点时函数值的变化趋势， 若仅考虑一侧，则有单侧极限。 定义 设函数 � � 在点 � 的一个右邻域中有定义，若存在实数 �， � + � � − � � + � � � � � � = � � 函数的右极限 对 ∀ � > 0，∃ � > 0，使得当 � < � < � + � 时，有 � � − � < �， 亦可定义左极限， 则称函数 � � 在点 � 的右极限是 �， 记为 𝐥� �→�+ � � = � 或 � � + � = �。 记为 𝐥� �→�− � � = � 或 � � − � = �
单侧极限yy=f(x)定理limf(x)=A 的充分必要条件为x0A+&f(a- 0) = f(a + 0) = A。AA-8(1, x>0,例设函数f(x) =a+sa-sx(-1, x<0a讨论f(x) 在 x = 0 处的极限。Xy=- 112
12 单侧极限 定理 𝐥� �→� � � = � 的充分必要条件为 � � − � = � � + � = �。 例 设函数 � � = �, � > �, −�, � < �, 讨论 � � 在 � = � 处的极限。 � � � � = � � � � + � � − � � − � � + � � � � = 1 � =− 1