线性代数教案第四章向量组的线性相关性81向量组及其线性组合定义1n个数a,a,,a构成的有序数组，记作α=(a,a,…,a.),称为n维行向量.α,一称为向量α的第i个分量；a,eR一称α为实向量（下面主要讨论实向量）a,C—称α为复向量；零向量：=(0,0,,0)；负向量：（-α)=(-a,-az",-a）[a.az列向量：n个数a,az,,a,构成的有序数组，记作α=或者α=(a,a2,.,a),..[a,]称为n维列向量，2.线性运算：α=(a,a2,",a)，β=(b,bz,,b,）相等：若a,=b,(i=1,2,",n)，称α=β加法：α+β=(a,+b,a,+b,",a.+b.)数乘：ka=(ka,ka,",ka,)减法: α-β=α+(-β)=(a,-b,a,-b,,a,-b,)3.算律：α=(ai,az,",a),β=(b,bz,",b.),=(c,C2,",c.)(1)α+β=β+α(5) 1α=α(2) (α+β)+=α+(β+)(6) k(lα)=(kl)α(3) α+0=α(7) k(α+β)=kα+kβ(4) α+(-α)=0(8)(k+1)α=kα+lα-
线性代数教案 1 第四章 向量组的线性相关性 §1 向量组及其线性组合 定义 1 n 个数 a a a n , , , 1 2 构成的有序数组, 记作 ( , , , ) = a1 a2 a n ,称为 n 维行向量． i a –– 称为向量 的第 i 个分量； ai R –– 称 为实向量（下面主要讨论实向量） ai C–– 称 为复向量；零向量： = (0,0, ,0) ； 负向量： ( ) ( , , , ) − = −a1 − a2 − a n 列向量： n 个数 a a a n , , , 1 2 构成的有序数组, 记作 = n a a a 2 1 , 或者 T 1 2 ( , , , ) = a a a n , 称为 n 维列向量． 2．线性运算： ( , , , ) = a1 a2 a n , ( , , , ) = b1 b2 b n 相等：若 a b (i 1,2, ,n) i = i = , 称 = ． 加法： Δ + = ( , , , ) a1 + b1 a2 + b2 a n + b n 数乘： ( , , , ) 1 2 Δ n k = ka ka ka 减法： Δ − = + (− ) = ( , , , ) a1 −b1 a2 −b2 a n −b n 3．算律： ( , , , ) = a1 a2 a n , ( , , , ) = b1 b2 b n , ( , , , ) 1 2 n = c c c (1) + = + (5) 1 = (2) ( + ) + = + ( + ) (6) k(l)= (kl) (3) + = (7) k( + ) = k + k (4) + (−)= (8) (k + l) = k + l
线性代数教案定义2线性组合：对n维向量α及α,",αm，若有数组k,,使得α=kα+.+kα.，称α为α....,α的线性组合，或α可由α,.,α线性表示13[50β, =β.83.判断β,可否由β,β,β,线性表示？例1β=[11-1-1解设β,=k,β+k,β,+k,β，比较两端的对应分量可得[k]3k,5011013求得一组解为kk-1 1 -1lk,1k.于是有β,=0β,+2β,+1β，即β,可由β,β,β,线性表示[k.][2[注]取另一组解k,3日时,有β,=2β,+3β,+0β,k,0定理1向量b能由向量组A:α,α",am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a,az",am）的秩等于矩阵的秩B=(ar,az,",am,b)定义3设有两个向量组A:ai,az,",am及B:b,b,，…,b，若B组中每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价.定理2向量组Bb,,b,",b,能由向量组A:a,,az",a线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a,a,.,a）的秩等于矩阵（A,B)=(a,a,,am,b,b,,.,b）的秩，R(A) = R(A,B)推论向量组A:a,a,a与向量组B:b,b,,b,等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)，其中 A和B是向量组A和B所构成的矩阵.定理3设向量组Bb,b2,.,b,能由向量组A:ai,az,,am线性表示，则R(b,.,b,)≤ R(a,..,am)S2向量组的线性相关性定义4线性相关：对n维向量组αs,αm，若有数组k,,k不全为0，使得ka,+...+k.α.=0称向量组α,，",α.线性相关，否则称为线性无关线性无关：对n维向量组α,,αm，仅当数组k",k.全为0时，才有2
线性代数教案 2 定 义 2 线性组合：对 n 维向量 及 m , , 1 , 若有数组 m k , ,k 1 使 得 m m = k11 ++ k , 称 为 m , , 1 的线性组合,或 可由 m , , 1 线性表示． 例 1 − = 1 0 1 1 , = 1 1 1 2 , − = 1 1 3 3 , = 1 3 5 4 判断 4 可否由 1 2 3 , , 线性表示? 解 设 4 11 2 2 33 = k + k + k ，比较两端的对应分量可得 − − 3 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 3 k k k = 1 3 5 , 求得一组解为 = 1 2 0 3 2 1 k k k 于是有 4 = 01 + 2 2 +13 , 即 4 可由 1 2 3 , , 线性表示． [注] 取另一组解 = 0 3 2 3 2 1 k k k 时, 有 4 = 21 + 3 2 + 03． 定 理 1 向 量 b 能 由 向 量 组 A a a a m : , , , 1 2 线 性 表 示 的 充 分 必 要 条 件 是 矩 阵 ( , , , ) A a1 a2 a m = 的秩等于矩阵的秩 ( , , , , ) B = a1 a2 a m b . 定义 3 设有两个向量组 A a a a m : , , , 1 2 及 B b b bl : , , , 1 2 , 若 B 组中每个向量都能由向 量组 A 线性表示, 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示.若向量组 A 与向量组 B 能互相线 性表示, 则称这两个向量组等价. 定理 2 向量组 B b b bl : , , , 1 2 能由向量组 A a a a m : , , , 1 2 线性表示的充分必要条件是矩 阵 ( , , , ) A a1 a2 a m = 的 秩 等 于 矩 阵 ( , ) ( , , , , , , , ) A B a1 a2 a m b1 b2 bl = 的 秩 , R(A) = R(A, B) 。 推 论 向量组 A a a a m : , , , 1 2 与向量组 B b b bl : , , , 1 2 等价的充分必要条件是 R(A) = R(B) = R(A,B) , 其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵. 定 理 3 设向量组 B b b bl : , , , 1 2 能 由 向 量 组 A a a a m : , , , 1 2 线性表示 , 则 , , ) ( , , ) R(b1 bl R a1 am §2 向量组的线性相关性 定义 4 线性相关： 对 n 维向量组 m , , 1 , 若有数组 m k , ,k 1 不全为 0, 使得 k11 ++ k m m = 称向量组 m , , 1 线性相关, 否则称为线性无关． 线性无关：对 n 维向量组 m , , 1 , 仅当数组 m k , ,k 1 全为 0 时, 才有
线性代数教案k,α,+...+k.α.=称向量组α，,α线性无关，否则称为线性相关[注] 对于单个向量α:若α=0,则α线性相关;若α≠①，则α线性无关对于两个向量的向量组，若对应分量成比例，则该向量组线性相关，否则线性无关例2判断例1中向量组β,βz,β,β,的线性相关性。解设k,β,+k,β,+k,β,+k,β,=,比较两端的对应分量可得k113510k0110K0-1[k.即Ax=0.因为未知量的个数是4，而rankA<4，所以Ax=0有非零解，由定义知β,β2,β,β,线性相关例3已知向量组α,α,α,线性无关，证明向量组β,=α,+α,，β=αz+α，β,=α+α,线性无关证设 k,β+k,β,+k,β,=,则有(k, +k,)α,+(k,+k,)α,+(k,+k,)α,=因为α,αz,α,线性无关，所以[k, +k,=0100Hk+k,=0，即01[k, +k,=00101110=2+0，该齐次方程组只有零解。故β,βz,β,线性无关系数行列式0 1 =例4判断向量组e=(1,0,0,,0)，e,=(0,1,0,,0)，，e,=(0,0,…,0,1)的线性相关性，解设ke,+k,e,+...+k,e,=o,则有(,z,k,)=の=只有k,=0,,=0,,k,=0故ei,e2,""e,线性无关3
线性代数教案 3 k11 ++ k m m = 称向量组 m , , 1 线性无关, 否则称为线性相关． [注] 对于单个向量 ：若 = , 则 线性相关； 若 , 则 线性无关． 对于两个向量的向量组,若对应分量成比例,则该向量组线性相关,否则线性无关. 例 2 判断例 1 中向量组 1 2 3 4 , , , 的线性相关性． 解 设 k11 + k2 2 + k33 + k4 4 = , 比较两端的对应分量可得 = − − 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 3 1 1 3 5 4 3 2 1 k k k k 即 Ax = 0 ．因为未知量的个数是 4, 而 rankA 4 , 所以 Ax = 0 有非零解, 由定义知 1 2 3 4 , , , 线性相关． 例 3 已知 向量 组 1 2 3 , , 线性无关, 证 明 向量 组 1 =1 +2 , 2 = 2 +3 , 3 =3 +1 线性无关． 证 设 k11 + k2 2 + k33 = , 则有 (k1 + k3 )1 + (k1 + k2 ) 2 + (k2 + k3 )3 = 因为 1 2 3 , , 线性无关, 所以 + = + = + = 0 0 0 2 3 1 2 1 3 k k k k k k , 即 = 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 3 2 1 k k k 系数行列式 2 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 = , 该齐次方程组只有零解． 故 1 2 3 , , 线性无关． 例 4 判断向量组 (1,0,0, ,0) e1 = , (0,1,0, ,0) e2 = , ., = (0,0, ,0,1) n e 的线性相 关性． 解 设 k1 e1 + k2 e2 ++ k n e n = , 则有 (k1 ,k2 , ,k n )= 只有 k1 = 0,k2 = 0, ,k n = 0 故 n e ,e , ,e 1 2 线性无关．
线性代数教案线性相关的判定定理：定理4向量组αj,αz,,α.(m≥2)线性相关其中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示，证必要性，已知α,αz，,α.线性相关，则存在k,k,，,k不全为零使得k,a,+k,a,+.+k.am=6k2km不妨设k≠0，则有α,=(-2)α,+...+(m)αkk,充分性．不妨设α,=k,α,+…+k.αm，则有-lα, +k,α, +...+k.α.=0因为(-1),k2,,m不全为零，所以αiαz,αm线性相关定理5若向量组α,αz,α线性无关，α,αz",αmβ线性相关，则β可由α,αz",α线性表示，且表示式唯一证因为α,α.β线性相关，所以存在数组k，,k.,k不全为零，使得k,α,+...+k.α.+kβ=0若k=0,则有kα,+..+kmαm==k,=0,k=0.矛盾！)α, .+(--k故0，从而有β=(-≤))αmkk下面证明表示式唯一：若β=k,α,+..+k.αm,β=lα,+..+l.α.则有(k,-l,)α, +..+(km-1.)αm=0因为α,αz，α线性无关，所以k,-l,=0,,km-.=0=k,=l,,km=即β的表示式唯—定理6α,…,α,线性相关=α,,α,,α,"α.（m>r)线性相关证因为α，,α,线性相关，所以存在数组k，,k,不全为零，使得k,a,+..+k,α,= = k,α,+.+k,a,+0αr++...+0α.=64
线性代数教案 4 线性相关的判定定理： 定理 4 向量组 m , , , 1 2 (m 2) 线性相关 其中至少有一个向量可由其余 m−1 个向量线性表示． 证 必要性．已知 m , , , 1 2 线性相关, 则存在 m k ,k , ,k 1 2 不全为零, 使得 k11 + k22 ++ k m m = 不妨设 k1 0, 则有 m m k k k k ( ) ( ) 1 2 1 2 1 = − ++ − ． 充分性．不妨设 m m 1 = k2 2 ++ k , 则有 −11 + k2 2 ++ k m m = 因为 m ( 1),k , ,k − 2 不全为零, 所以 m , , , 1 2 线性相关． 定 理 5 若向量组 m , , , 1 2 线 性 无 关 , 1 , 2 , , m , 线 性 相 关 , 则 可 由 m , , , 1 2 线性表示, 且表示式唯一． 证 因为 1 , , m , 线性相关, 所以存在数组 k k k m , , , 1 不全为零, 使得 k11 ++ k m m + k = 若 k = 0, 则有 k11 ++ k m m = k1 = 0, , k m = 0 ．矛盾! 故 k 0 , 从而有 m m k k k k ( )1 ( ) 1 = − ++ − ． 下面证明表示式唯一： 若 m m = k11 ++ k , m m = l 11 ++l 则有 (k1 −l 1 )1 ++ (k m −l m ) m = 因为 m , , , 1 2 线性无关, 所以 k1 −l 1 = 0, , k m −l m = 0 m m k = l , , k = l 1 1 即 的表示式唯一． 定理 6 r , , 1 线性相关 , , , , , ( ) 1 1 m r r r+ m 线性相关． 证 因为 r , , 1 线性相关, 所以存在数组 r k , ,k 1 不全为零, 使得 k11 ++ k r r = k11 ++ k r r + 0 r+1 ++ 0 m =
线性代数教案数组k，",k00不全为零，故α,α,α"α线性相关推论1含零向量的向量组线性相关，推论2向量组线性无关任意的部分组线性无关，定理7设α,=(an,a2,",am),i=1,2,,maanai2ainα2a2ia22azA=..::αmLamam2.a(1）αiαz.αm线性相关一rankA<m；(2）α,αz，,α.线性无关rankA=m.证设k,α,+k,a,+...+kmam=比较等式两端向量的对应分量可得[0][ak,a2.aml0ka2a22am2::::LoLanan.am JLk..即Ax=0.由定理3.5可得：α,αz，…,α线性相关→Ax=0有非零解 rankAT <m rankA<m推论1在定理7中，当m=n时，有(1）αα"α线性相关detA=0；(2）αi,αz，…α,线性无关detA+0推论 2 在定理 7 中,当m<n时，有(1）α,αz,α线性相关A中所有的m阶子式D.=0（R(A)<m）；(2）α,αz,,α线性无关一A中至少有一个m阶子式D±0（R(A)=m）).推论3在定理7中，当m>n时，必有αi,α2",αm线性相关.因为R(A)≤n<m，由定理7(1)即得推论4向量组T：α,=(am,a2,,a),=12,,m向量组T,：β,=(an,a2",a,ar+"am),i=1,2,,m证明：若T线性无关，则T线性无关5
线性代数教案 5 数组 k1 , ,k r ,0, ,0 不全为零, 故 r r m , , , , , 1 +1 线性相关． 推论 1 含零向量的向量组线性相关． 推论 2 向量组线性无关 任意的部分组线性无关． 定理 7 设 i = (ai1 ,ai2 , ,ain ), i =1,2, ,m = m A 2 1 = m m mn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 (1) m , , , 1 2 线性相关 rankA m ； (2) m , , , 1 2 线性无关 rankA = m ． 证 设 k11 + k22 ++ k m m = 比较等式两端向量的对应分量可得 = 0 0 0 2 1 1 2 12 22 2 11 21 1 n n mn m m m k k k a a a a a a a a a 即 0 T A x = ．由定理 3.5 可得： m , , , 1 2 线性相关 0 T A x = 有非零解 A m T rank rankA m 推论 1 在定理 7 中, 当 m = n 时, 有 (1) n , , , 1 2 线性相关 det A = 0 ； (2) n , , , 1 2 线性无关 det A 0． 推论 2 在定理 7 中, 当 m n 时, 有 (1) m , , , 1 2 线性相关 A 中所有的 m 阶子式 D m = 0 （ R(A) m ）； (2) m , , , 1 2 线性无关 A 中至少有一个 m 阶子式 D m 0 ( R(A) = m )． 推论 3 在定理 7 中, 当 m n 时, 必有 m , , , 1 2 线性相关． 因为 R(A) n m, 由定理 7(1)即得． 推论 4 向量组 T1：i = (ai1 ,ai2 , ,air ), i =1,2, ,m 向量组 T2： i = (ai1 ,ai2 , ,air ,ai,r+1 , ,ain ), i =1,2, ,m 证明：若 T1 线性无关, 则 T2 线性无关．