目录定积分的概念定积分的性质微积分基本定理不定积分定积分的计算定积分的应用反常积分
2 目录 5 定积分的计算
定积分第一换元法Tu定理设f EC(),β'(x) E C[a,b],且值域R() C I,若F'(u) =f(u),则 b f[p(x)]p'(x)dx = F[p(x)]la。证结合不定积分第一换元法及N-L公式，即得。xdxc2例求V1+6x2
3 定积分第一换元法 定理 设 � ∈ � � ，�′ � ∈ � �, � ，且值域 � � ⊂ �，若 � ′ � = � � ， 则 � � � � � �′ � �� = � � � � � 。 证 结合不定积分第一换元法及 N-L 公式，即得。 例 求 � � ��� �+�� �
定积分第一换元法例求JVsinx-sin3xdx
4 定积分第一换元法 例 求 � � 𝐬�� − 𝐬�����
定积分第二换元法amur定理 设f(x) E C[a,b],若 x =β(t) 满足 '(t) E R[α,β],且p(α) = a,β(β) = b,值域 R(p) c[a,b],则 J, f(x)dx = Jf f[p(t)lp'(t)dt。证设F(x)是f(x)在(a,b)上的一个原函数，则 Jβ f(x)dx = F(b) - F(a)。又是F[p(t)] = F'[p(t)]p(t) = f[(t)]p'(t),即 F[p(t)]是f[p(t)]'(t)在(α,β) 上的一个原函数,所以, J f[p(t)]p'(t)dt = F[p(β)] - F[p(α)] = F(b) - F(a)
5 定积分第二换元法 定理 设 � � ∈ � �, � ，若 � = � � 满足 �′ � ∈ � �, � ， 则 � � � � �� = � � � � � �′ � ��。 证 设 � � 是 � � 在 �, � 上的一个原函数， 且 � � = �，� � = �，值域 � � ⊂ �, � ， 又 � �� � � � = � ′ � � �′ � = � � � �′ � ， 即 � � � 是 � � � �′ � 在 �, � 上的一个原函数， 所以， � � � � � �′ � �� = � � � − � � � = � � − � � 。 则 � � � � �� = � � − � �
定积分第二换元法注，在应用定积分的第二换元法时，不再需要求解变换x=β(t)的逆变换，取而代之，只需求出对应的积分区间端点的值 a =p(α)，b= β(β),新的积分下限即为α，而积分上限为β。(β可以小于α)例求 JB Va2 -x2dx (a> 0)
6 定积分第二换元法 注 在应用定积分的第二换元法时， 不再需要求解变换 � = � � 的逆变换， 取而代之，只需求出对应的积分区间端点的值 � = � � ，� = � � ， 新的积分下限即为 �，而积分上限为 �。（� 可以小于 �） 例 求 � � � �� − � ��� � > �