第三章矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质一一秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。S1矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。一、引例2x-X2-X+X4=2①4②X+ X2-2x3+ X4 =4(1)求解线性方程组4③4x-6x2+2x3-2x4=43x+6x2-9x3+7x4=9④[1+ X2 -2x3 + X4 = ①②-?②-+21.--.-2-.3+ 4-?(1) 合@③-0(B)@-20(B2) @±52(B,) 0-2③1--.4--?④-30③-2④-320 =(④(B4)问题1°共采取了几种变换将（1)变为（B4）的？（三种：（i）交换方程的次序：（i）用数k(+O)乘某方程：（i）将某方程的k倍加到另一方程上。且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）2°在这三种变换下，（1)与（B4）是否同解？即这三种变换是否都可逆？2（都可逆，即同解变换）3°采取这三种变换的目的是为了将（1)变为什么形状以便得到解？（阶梯形。其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程：将③代入②得x2=x3，表明x3（或x2）可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）4°由于(1)与其增广矩阵B=(Ab)构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？(2-1-11i2)(11-214)11-214②-?11-21404②2-1202220③-20B=462-24③+2231-1205536④-3036-97, 990334-336-97
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学 家佛洛本纽斯在 1879 年首先提出的。为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具 ———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求 逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最 后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。 §1 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到 的。 一、引例 求解线性方程组 + − + = − + − = + − + = − − + = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 2 4 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x (1) (1) ( ) B1 ( ) B2 ( ) B3 = =− − + = + − + = 0 0 3 0 2 4 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x ( ) B4 问题 1 0 共采取了几种变换将(1)变为 ( ) B4 的？ （三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数 k (0) 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的 k 倍加到 另一方程上。且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的） 2 0 在这三种变换下，(1)与 ( ) B4 是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即 同解变换） 3 0 采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得 2 3 x = x ，表 明 3 x (或 2 x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的 阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由 未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解， 所以我们特别重视自由未知量） 4 0 由于(1)与其增广矩阵 B = (A b) 构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果 是什么？ − − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 B − − − − − − 3 6 9 7 9 2 3 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 − − − − − − − 0 3 3 4 3 0 5 5 3 6 0 2 2 2 0 1 1 2 1 4 ②-③ ③-2① ④-3① ① ② ③ ④ ① ② ③ 2 ③④ ④-2③ ① ② ③ ④ ① ② ③ 2 ②-③ ③-2① ④-3① ② 2 ③+5② ④-3②
②+2(11-214变换前后对应的③+5②01-110?-0矩阵一般不相等④-32④-2300026000-31121401-110= Bs0001300000对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：二、初等变换1、定义1以下三种变换称为矩阵的初等行变换：（i）对调两行（对调i、j两行记作：r,r,)；（i）以数k0乘某行中的所有元素（第i行乘k记作：rxk）；（i）将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j行的k倍加到第i行记作：r,+kr,).将定义中的“行”换成“列”，即可得到矩阵初等列变换的定义，将记号中的r换成c就是初等列变换的记号。初等行、列变换通称初等变换。注0显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换仍为同种的初等变换：rr,的逆变换为台r,xk的逆变换为r,+k；ri+kr,的逆变换为ri+k'j.③注意矩阵的初等变换与行列式的性质运算从定义到记号虽然十分相似，但又根本不同，千万不能混淆。再次强调：经行列式运算得到的行列式与原行列式是相等的，但经初等变换得到的矩阵与变换前的矩阵千万不能用等号连接，它们是不相等的，我们称它们是等价：定义2若对矩阵A实行有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作AB类似于无穷小的等价概念，我们称A与B为等价是因为它确实是一种等价关系，它具有：①自反性一AA：（取k=1，作乘数初等变换即可）②对称性一AB=BA：（：初等变换都是可逆的）③传递性AB,BC=AC（将两次的初等变换合并到一起对A作即可）③初等变换是线性代数的一个重要工具，首先利用初等变换可以将任一矩阵化为形如B4的矩阵，我们形象地称之为行梯形阵，其特征：可画一阶梯线，线下方的元素均为0，每层台阶的高度只有一行，阶数即为非零行的行数，阶梯线的竖线后的第一个元素是一非零数，它也是非零行的第一个非零数。(2-1-112)(11-214)11-214r2-311-2142-1202220r3-2r1ri台r例如B=4-62-24231-1205536r3+2r4-3r136-979(36-97903343"2"1 4)1-24r2-2b1-110r1-r201-110r34→>r4r3+5r2r2-r300013r4-2r300026r4-3r2000000001-3010401-10B000130000
− − − − 0 0 0 1 3 0 0 0 2 6 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 = B − − − . 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于 对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义： 二、初等变换 1、定义 1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换： (ⅰ) 对调两行（对调 i、j 两行记作： i j r r ）； (ⅱ) 以数 k 0 乘某行中的所有元素（第 i 行乘 k 记作： r k i ）； (ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第 j 行的 k 倍加到第 i 行记作： i j r +k r ）。 将定义中的 “行”换成“列”，即可得到矩阵初等列变换的定义，将记号中的 r 换成 c 就是 初等列变换的记号。初等行、列变换通称初等变换。 注 显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换仍为同种的初等变换： i j r r 的逆变换为 j i r r ； r k i 的逆变换为 r k i ； i j r +k r 的逆变换为 i j r k r 1 + . 注意矩阵的初等变换与行列式的性质运算从定义到记号虽然十分相似，但又根本不 同，千万不能混淆。再次强调：经行列式运算得到的行列式与原行列式是相等的，但经初等 变换得到的矩阵与变换前的矩阵千万不能用等号连接，它们是不相等的，我们称它们是等价: 定义 2 若对矩阵 A 实行有限次初等变换变成矩阵 B，则称矩阵 A 与 B 等价，记作 A~B . 类似于无穷小的等价概念，我们称 A 与 B 为等价是因为它确实是一种等价关系，它具有： ① 自反性 ——— A~A； （取 k = 1，作乘数初等变换即可） ② 对称性 ——— A~B B~A； （∵初等变换都是可逆的） ③ 传递性 ——— A~B，B~C A~C . （将两次的初等变换合并到一起对 A 作即可） 初等变换是线性代数的一个重要工具，首先利用初等变换可以将任一矩阵化为形如 B4 的矩阵，我们形象地称之为行梯形阵，其特征：可画一阶梯线，线下方的元素均为 0， 每层台阶的高度只有一行，阶数即为非零行的行数，阶梯线的竖线后的第一个元素是一非零 数，它也是非零行的第一个非零数。 例如 − − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 B − − − − − − 3 6 9 7 9 2 3 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 − − − − − − − 0 3 3 4 3 0 5 5 3 6 0 2 2 2 0 1 1 2 1 4 − − − − 0 0 0 1 3 0 0 0 2 6 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 = B − − − . ③④ ④-2③ ② 2 ③+5② ④-3② 变换前后对应的 矩阵一般不相等 r3r4 r4-2r3 r2 2 r3+5r2 r4-3r2 r2-r3 r3-2r1 r4-3r1 r1 r2 r3 2 r1-r2 r2-r3 x1 x2 x3 x4
注0B。是一个更简单的行梯形阵，其特征：非零行的第一个非0元素均为1，且这个1所在的列中其它元素均为0。用方程组的语言来说这个特征：只有一个元素是1，其余元素均为0的列恰为非自由未知量x1,x2,x4所对应的列。它对应的同解方程组是 =X +4[X - X3 = 4（Bs）———这个结果正是将x4=-3回代入B4对应的X2-X=33×2=X3+3X4 = -3[x4 =-3方程组时所求得的解，即Bs对应的方程组就是回代结果(Bs)，即取x为自由变量，并令X3=C，即得-013其中c为任意常数。C(30.这表明得到矩阵B。就等于得到了方程组的解，鉴于B。形式的重要性，我们给它起个名称一一一行最简形。也就是说：解一个线性方程组，只需将它对应的增广矩阵B经初等行变换变成其行最简形即可得到方程组的解。③有无自由未知量决定于非零行的阶宽，对一个阶宽就多一个自由未知量。不看最后的常数列时，阶加宽一列，其阶数就少一层，故：自由未知量的个数=未知量个数-非零行行数=n-r!!!③由于方程组与其增广矩阵是一一对应的，故自然地猜想：任何一个矩阵的行最简形式是唯一的，从而行阶梯形中非零行的行数也必唯一，从而自由未知量的个数也必唯2、矩阵的标准形如果对行最简行Bs再进行初等列变换，可将矩阵B；变成更简单的以下形式：C3-+C4(10000)01000C4+C1+C2=F=(E3 0)Bs cs-4cr-3c2+3cs000100=(00)(00000)我们称F是矩阵B的标准形。可以证明，一般地任一mxn矩阵A都可以经初等变（行变换和列变换）变成标准形-(E.O)AF:其中r就是A行阶梯形的非零行的行数。(00)注○任一个矩阵都有标准形，且若行阶梯形的非零行的行数是唯一的话，标准形是唯一的。②由于进行了列变换，增广矩阵的标准形与方程组的解之间没有关系。?容易证明一个重要结论：矩阵ABA与B的标准形相同（BAF，且等价具传递性)。所有与A等价的矩阵组成的集合（BB与A等价称为是一个等价类，A的标准形F就是这个集合里最简单的那个矩阵，可视为是这个等价类的代表元。小结本节特点概念多，内涵信息多。主要概念一一初等变换，但小概念多一一自由和非自由未知量，行阶梯形，行阶梯形的非零行的行数，行最简形，标准形，等价。清楚这些概念与方程组的关系对下面的学习是十分重要的。比如：数r与行阶梯形的非零行的行数，与自由未知量的个数之间应为何关系？
注 B5 是一个更简单的行梯形阵，其特征：非零行的第一个非 0 元素均为 1，且这 个 1 所在的列中其它元素均为 0。用方程组的语言来说这个特征：只有一个元素是 1，其余 元素均为 0 的列恰为非自由未知量 1 2 4 x , x , x 所对应的列。它对应的同解方程组是 = − − = − = 3 3 4 4 2 3 1 3 x x x x x = − = + = + 3 3 4 4 2 3 1 3 x x x x x (B5 ) ———这个结果正是将 x4 = −3 回代入 B4 对应的 方程组时所求得的解，即 B5 对应的方程组就是回代结果 (B5 ) ，即取 3 x 为自由变量，并令 x = c 3 ，即得 x = − + = − + + = 3 0 3 4 0 1 1 1 3 3 4 4 3 2 1 c c c c x x x x ，其中 c 为任意常数。 这表明得到矩阵 B5 就等于得到了方程组的解，鉴于 B5 形式的重要性，我们给它起个名 称———行最简形。也就是说：解一个线性方程组，只需将它对应的增广矩阵 B 经初等行 变换变成其行最简形即可得到方程组的解。 有无自由未知量决定于非零行的阶宽，对一个阶宽就多一个自由未知量。不看最后 的常数列时，阶加宽一列，其阶数就少一层，故：自由未知量的个数 = 未知量个数 - 非零行行数 =n–r ！！！ 由于方程组与其增广矩阵是一一对应的，故自然地猜想：任何一个矩阵的行最简形 式是唯一的，从而行阶梯形中非零行的行数也必唯一，从而自由未知量的个数也必唯 一。 2、矩阵的标准形 如果对行最简行 B5 再进行初等列变换，可将矩阵 B5 变成更简单的以下形式： B5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 = = O O E O F 3 . 我们称 F 是矩阵 B 的标准形。可以证明，一般地任一 mn 矩阵 A 都可以经初等变(行变 换和列变换)变成标准形 A ~ m n r O O E O F = 其中 r 就是 A 行阶梯形的非零行的行数。 注 任一个矩阵都有标准形，且若行阶梯形的非零行的行数 r 是唯一的话，标准形是 唯一的。 由于进行了列变换，增广矩阵的标准形与方程组的解之间没有关系。 容易证明一个重要结论：矩阵 A~B A 与 B 的标准形相同(∵B~A~F，且等价具传 递性)。 所有与 A 等价的矩阵组成的集合 B B与A等价 称为是一个等价类，A 的标准形 F 就是这个 集合里最简单的那个矩阵，可视为是这个等价类的代表元。 小结 本节特点概念多，内涵信息多。主要概念——初等变换，但小概念多——自由和 非自由未知量，行阶梯形，行阶梯形的非零行的行数，行最简形，标准形，等价。清楚这些 概念与方程组的关系对下面的学习是十分重要的。比如：数 r 与行阶梯形的非零行的行数， 与自由未知量的个数之间应为何关系？ c3↔c4 c4+c1+c2 c5-4c1-3c2+3c3
s2矩阵的秩上节我们猜测：矩阵经初等变换化为行阶梯形时，其非零的行数r是唯一确定的，且这个行数r与自由未知量的个数有关：自由未知量的个数=变量个数n-r.由此可见，r是矩阵的一个很重要的数字特征，实际上将其抽象出来就是矩阵秩的概念。但非零行数的唯性未经证明，故不能直接从行阶梯形的非零行数来抽象矩阵秩的概念，我们从另一个角度建立秩的概念，然后再沟通矩阵的秩与其行阶梯形非零行数的关系。为此先引入1、k阶子式定义2在Xn矩阵A中，任取k行与k列（，位于这些行列交叉处的这K个元素，按原位置次序构成的k阶行列式，称为矩阵的k阶子式。+4TTO1-2131-62例如，得其3阶子式：31-240-6075注mxn矩阵A共有chck个k阶子式。2、秩的定义及其求法定义3设在矩阵A中有一个不为0的r阶子式D，且所有的r+1阶子式（若存在的话）均为0，则称D为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．并规定R(O)=0.注主显然，矩阵A的秩就是A所有非零子式的最高阶数。只要A不是零阵，就有R(A)>0.并且秩有以下基本性质：① R(A)≤min(m,n)②若有一个r阶子式不为0,则R(A)≥r：若所有的r+1阶子式都等于0,则R(A)≤r:③ R(AT)=R(A)例1.求矩阵A与B的秩，其中(2.-103-2)(122)03.1-25A=23-5,B=00043(471)0000012#解：A有2阶子式≠0，且A只有一个3阶子式，即A=0，R(A）=2.232[2 -1 3]：B有3阶子式03-22=24*0，由于B的第4行元素均为0，故B的4阶子式均为0，：.R(B)04= 3.注0若n阶方阵的行列式A+0，则A的最高阶非零子式就是A，所以R(A）=n，故称A为满秩矩阵；若A=0，则称A为降秩矩阵。③当矩阵的行、列数都较高时，用定义求秩是困难的，定义主要具有理论价值。③B的秩较好求是因为它是一个行阶梯形阵，显然行阶梯形阵的最高阶非零子式就是其非零行的第一个非零数所在的行与列所构成的子式，即阶梯形阵的秩就等于其非零的行数！！！自然的想法：能否将矩阵化为行阶梯形阵来求其秩？即问题是等价矩阵的秩是否相等？下面的定理给出了回答：定理1若AB，则R(A=R(B，即初等变换不改变矩阵的秩。证(分析：只需证在一次初等变换下：R(A)≤R（B)且R(A)≥R(B).)设R(A)=I，且A的某个r阶子式D,*0.因为AB，故A可经初等变换变为B，又R(AT）=R(A)，所以可仅就行变换的情形给出证明：(1)先证经一次初等行变换后，R(B)≥R(A)=r:
§2 矩阵的秩 上节我们猜测：矩阵经初等变换化为行阶梯形时，其非零的行数 r 是唯一确定的，且这 个行数 r 与自由未知量的个数有关：自由未知量的个数 = 变量个数 n – r. 由此可见，r 是矩阵的一个很重要的数字特征，实际上将其抽象出来就是矩阵秩的概念。但非零行数的唯 一性未经证明，故不能直接从行阶梯形的非零行数来抽象矩阵秩的概念，我们从另一个角度 建立秩的概念，然后再沟通矩阵的秩与其行阶梯形非零行数的关系。为此先引入 1、k 阶子式 定义 2 在 mn 矩阵 A 中，任取 k 行与 k 列()，位于这些行列交叉处的这 k 2 个元素，按 原位置次序构成的 k 阶行列式，称为矩阵的 k 阶子式。 例如， − − − − − − 5 6 4 0 7 9 2 3 0 1 1 2 3 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 4 ， 得其 3 阶子式： 6 0 7 3 1 1 1 2 1 − − − . 注 mn 矩阵 A 共有 k n k CmC 个 k 阶子式。 2、秩的定义及其求法 定义 3 设在矩阵 A 中有一个不为 0 的 r 阶子式 D，且所有的 r+1 阶子式(若存在的话) 均为 0， 则称D 为矩阵A 的最高阶非零子式，数r称为矩阵A 的秩，记作R(A). 并规定R(O)=0.注 显 然，矩阵 A 的秩就是 A 所有非零子式的最高阶数。只要 A 不是零阵，就有 R(A)> 0. 并且秩有以下基本性质: ① R(A)≤min{m,n} ② 若有一个 r 阶子式不为 0，则 R(A)≥r； 若所有的 r+1 阶子式都等于 0，则 R(A) ≤r； ③ R ( ) = AT R(A). 例 1 求矩阵 A 与 B 的秩，其中 A = − 4 7 1 2 3 5 1 2 2 ， B − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 . 解 ∵ A 有 2 阶子式 0 2 3 1 2 ，且 A 只有一个 3 阶子式，即 A = 0， ∴R(A) = 2. ∵B 有 3 阶子式 24 0 0 0 4 0 3 2 2 1 3 − = − ，由于 B 的第 4 行元素均为 0，故 B 的 4 阶子式均为 0，∴R(B) = 3. 注 若 n 阶方阵的行列式 A 0 ，则 A 的最高阶非零子式就是 A ，所以 R(A) = n， 故称 A 为满秩矩阵；若 A = 0 ，则称 A 为降秩矩阵。 当矩阵的行、列数都较高时，用定义求秩是困难的，定义主要具有理论价值。 B 的秩较好求是因为它是一个行阶梯形阵，显然行阶梯形阵的最高阶非零子式就是 其非零行的第一个非零数所在的行与列所构成的子式，即 阶梯形阵的秩就等于其非零的行 数！！！ 自然的想法：能否将矩阵化为行阶梯形阵来求其秩？即问题是等价矩阵的秩是否相 等？下面的定理给出了回答： 定理 1 若 A~B，则 R(A)=R(B)，即初等变换不改变矩阵的秩。 证 (分析：只需证在一次初等变换下：R(A)≤R (B)且 R(A)≥R(B).) 设 R(A)= r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0. 因为 A~B，故 A 可经初等变换变为 B，又 R ( ) = AT R(A)，所以可仅就行变换的情形给出证明： (1) 先证经一次初等行变换后，R(B)≥R(A)= r：
当A-B或A×B时，则B中与D.相对应的子式D,必满足D,=D,或D,=-D,，或D,=kD，从而总有Dr￥0=R(B)≥r:当AtkB时，①若D,不含第i行，或同时含第i行和第j行，则D,=Dr0，所以 R(B)≥r:②若D,中含第i行但不含第j行，则有：]D,=+k=+=D,+kD,若D,=0，则Dr=Dr+0=R(B)≥r：若D,+0，则D,就是A的不含第i行的r阶子式，由①知R(B)≥r,综合以上知，经一次初等行变换后R(B)≥R(A)(2②）再证经一次初等行变换后R(B)≤r：因为初等行变换均可逆，再由（1)的证明知：R(B）≤R(A):综合以上知经有限次初等行变化后，R(A)=R(B).■注由于初等变换不改变矩阵的秩，故我们可用初等行变换将A化为行梯形阵，即得其秩(320503 -236-1例2设A=2015-316414求R(A)，并求A的一个最高阶非零子式。r-r4(16440431-0-431-r-r48r3-3r2解 A0-1297-11r3-2r,r4-4r2016128-1200048r4-3r64-1410431-10004800000由于A的行阶梯形有3个非零行，所以R(A)=3：由上知，A的最高阶非零子是3阶的，故只需找A的一个不为零的三阶子式。又A的行[16041,与它相对应的是A的1、2和4三列，只需在这阶梯形有一个最高阶非零子式：004三列构成的矩阵0这并不是A的Ai =最高阶非零子式161[325]中找个三阶的非零子式。因为3阶子式：3-265=-30+24+0+20-030=-16±0，所以205它就是A的最高阶非零子式。(122-)(2)2480例3设A=B=求矩阵A及B的秩。3424-223606
当 A B 或A B 时，则B 中与 Dr 相对应的子式 Dr 必满足 Dr =Dr 或 Dr =−Dr ， 或 Dr =kDr ，从而总有 Dr 0 R(B)≥r； 当 A B 时，① 若 Dr不含第 i 行，或同时含第 i 行和第 j 行，则 Dr = Dr 0，所 以 R(B)≥r； ② 若 Dr中含第 i 行但不含第 j 行，则有 i j i j r r Dr r kr r k r D kDˆ = + = + = + 若 Dr = ˆ 0，则 Dr =Dr 0R(B)≥r；若 Dr ˆ 0，则 Dr ˆ 就是 A 的不含第 i 行的 r 阶子式，由① 知 R(B)≥r， 综合以上知，经一次初等行变换后 R(B)≥R(A). (2) 再证经一次初等行变换后 R(B)≤r：因为初等行变换均可逆，再由(1)的证明知：R(B) ≤R(A)； 综合以上知经有限次初等行变化后，R(A)= R(B). ▋ 注 由于初等变换不改变矩阵的秩，故我们可用初等行变换将 A 化为行梯形阵，即得其 秩 例2 设 − − − − − = 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0 A ， 求 R(A)，并求 A 的一个最高阶非零子式。 解 A − − − − − − − − 0 16 12 8 12 0 12 9 7 11 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 − − − − 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 4 8 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 ， 由于 A 的行阶梯形有 3 个非零行，所以 R(A)= 3 ； 由上知，A 的最高阶非零子是 3 阶的，故只需找 A 的一个不为零的三阶子式。又 A 的行 阶梯形有一个最高阶非零子式： 0 0 4 0 4 1 1 6 1 − − ，与它相对应的是 A 的 1、2 和 4 三列，只需在这 三列构成的矩阵 − − = 1 6 1 2 0 5 3 2 6 3 2 5 A1 中找个三阶的非零子式。因为 3 阶子式： 30 24 0 20 0 30 16 0 2 0 5 3 2 6 3 2 5 − = − + + + − − = − ，所以 它就是 A 的最高阶非零子式。 例 3 设 − − − − − − − = 3 6 0 6 2 4 2 2 2 4 8 0 1 2 2 1 A ， = 4 3 2 1 B ，求矩阵 A 及 B 的秩。 r3-3r2 r4-r3 r4-4r2 r1↔r4 r2-r4 r3-2r1 r4-3r1 ri↔ rj ri k ri+krj 这并不是 A 的 最高阶非零子式