海涅定理定理函数极限limf(x)=A的充分必要条件是：x0对任一满足lim xn = a 且 xn ≠ a 的数列 (xn)，均有 limf(xn)= A。non-c一：证其逆反命题，假设limf(x)≠ A,即>0, >0,,满足0<Ix-al<S,及If(x)-Al≥取S1= 1,日x1,满足 0<[x1 -αl <81,If(x1)-A/≥80,取 82 =, 日 x2，满足0<[x2 -al < 82, If(x2) - Al ≥ E0, ….取&k=2k-1，xk，满足0<[xk-al<k，If(xk)-Al ≥E0，于是,点列(xn) 满足0 <[xn -al <,2n-1,即 lim xn = a,n-00但 If(xn)-Al ≥ εo,limf(xn) ± A。18
18 海涅定理 定理 函数极限 𝐥� �→� � � = � 的充分必要条件是： 对任一满足 𝐥� �→∞ �� = � 且 �� ≠ � 的数列 �� ，均有 𝐥� �→∞ � �� = �。 ⟸：证其逆反命题，假设 𝐥� �→� � � ≠ �， 即 ∃ �� > �, ∀ � > �，∃ �，满足 � < � − � < �，及 � � − � ≥ �取�，�� = 1，∃ ��，满足 � < �� − � < ��， � �� − � ≥ ��， 取 �� = � � ，∃ ��，满足 � < �� − � < ��， � �� − � ≥ ��，. 于是，点列 �� 满足 � < �� − � < � � �−�，即 𝐥� �→∞ �� = �， 取 �� = � � �−� ，∃ ��，满足 � < �� − � < ��， � �� − � ≥ ��，. 但 � �� − � ≥ ��，𝐥� �→∞ � �� ≠ �
函数sinX例讨论下列函数在x=0 的极限。1f2(x) = xsin 1;fi(x) = sin1;1sinf3(x) :?xxXx可利用极限定义，证明lim sin=不存在。yy=1xx→011或者，取点列xnYn元2n元2n元+y=sinx12xA+E有xn→ 0, yn→ 0,AA-但 sin=0→ 0, sin1-→1y=-1XnYn1lim sin=不存在0≠1，由海涅定理，极限lim sin=不存在。x→0xx-019
19 函数 𝐥� � � 例 讨论下列函数在 � = � 的极限。 �� � = 𝐥� � �； �� � = �𝐥� � �； �� � = � � 𝐥� � � 。 � � � = sin 1 � � = 1 � =− 1 lim �→0 sin 1 � 不存在 � � − � � + � 或者，取点列 �� = � ��� , �� = � ���+ � � ， 有 �� → �, �� → �， 但 𝐥� � �� = � → �, 𝐥� � �� = � → �， � ≠ �，由海涅定理，极限 𝐥� �→� 𝐥� � � 不存在。 可利用极限定义，证明 𝐥� �→� 𝐥� � � 不存在